Ensino Médio

Mensagem não lidapor **neoreload** » 16 Set 2014, 05:29 · Mensagem não lida por **neoreload** » 16 Set 2014, 05:29

Pessoal preciso muito da ajuda de vcs na seguinte questão:

[tex3]\lim\frac{2\sqrt{x}-2}{x^{2}-2x+1}[/tex3]
[tex3]x\rightarrow 1^{+}[/tex3]

O denominador eu sei que pode ir pra (x+1)(x-1), só que ai eu fico sem perceber como cortar o numerador, porque substituindo vai dar 0. Se possivel explicar o passo a passo, obrigado ^^

$\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2\sqrt x-2}{x^2-2x+1}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2(\sqrt x -1)}{(x-1)^2}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2(\sqrt x -1) \cdot (\sqrt x+1)}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=$

$\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2 \cdot [(\sqrt x)^2-1^2]}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)^2} \cdot (\sqrt x+1)}=$
$\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2}{(x-1)\cdot (\sqrt x+1)}=\frac{2}{(1-1) \cdot (\sqrt 1+1)}=\frac {2}{0}=+\infty$

Espero ter ajudado!

Mensagem não lidapor **neoreload** » 16 Set 2014, 08:35 · Mensagem não lida por **neoreload** » 16 Set 2014, 08:35

VALDECIRTOZZI escreveu: $\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2\sqrt x-2}{x^2-2x+1}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2(\sqrt x -1)}{(x-1)^2}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2(\sqrt x -1) \cdot (\sqrt x+1)}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=$
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[tex3]\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2\sqrt x-2}{x^2-2x+1}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2(\sqrt x -1)}{(x-1)^2}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{2(\sqrt x -1) \cdot (\sqrt x+1)}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=[/tex3]

$\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2 \cdot [(\sqrt x)^2-1^2]}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)^2} \cdot (\sqrt x+1)}=$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2 \cdot [(\sqrt x)^2-1^2]}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 \cdot (\sqrt x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)^2} \cdot (\sqrt x+1)}=[/tex3]

$\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2}{(x-1)\cdot (\sqrt x+1)}=\frac{2}{(1-1) \cdot (\sqrt 1+1)}=\frac {2}{0}=+\infty$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{2}{(x-1)\cdot (\sqrt x+1)}=\frac{2}{(1-1) \cdot (\sqrt 1+1)}=\frac {2}{0}=+\infty[/tex3]

Espero ter ajudado!

Obrigado mesmo amigo pela ajuda. Porém esqueci de dizer que estou meio que voltando e muitas regrinhas ainda passam batidas :S. Teriam como apenas colocar ao lado qual o nome do passo que vc realizou? o final eu entendi que vc fez a multiplicação pelo oposto do primeiro termo para poder eliminar a raiz, mas como vc faz o [tex3]2\sqrt{x}-2[/tex3] virar [tex3]2\sqrt{x}-1[/tex3] ? no caso do denominador ele vira o (x+1)(x-1), ai vc usou o prod notav que faz isso virar ([tex3]a^{2}-b^{2}[/tex3] )? agradeço se puder ajudar com isso e desculpa pelo trabalho.

Veja:
$2\sqrt x -2$
Note que o 2 é fator comum nas duas parcelas, o que eu fiz foi colocá-lo em evidência (fatorei a expressão).
$2\sqrt x -2=2 \cdot \left(\sqrt x -1\right)$

No caso do trinômio $x^2-2x+1$ , note que esse trinômio é o trinômio quadrado perfeito e sua fatoração é $(a-b)^2$ , que, no caso, fica $(x-1)^2$ .
$(x-1)^2=x^2-2 \cdot x\cdot 1+1^2=x^2-2x+1$

No numerador, com relação ao produto $\left(\sqrt x-1\right) \cdot \left(\sqrt x+1\right)$ , veja que é um produto do tipo $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ , ou seja ele pode ser escrito como uma diferença de dois quadrados.

Espero ter ajudado!

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