Polinômio Genérico

manerinhu · 2014-06-29T13:19:46-03:00

Encontre todos os polinômios P(x) , tais que P(x^2 - 2x) = [P(x-2)]^2 P(x) = (x+1)^n

Ensino Médio ⇒ Polinômio Genérico Tópico resolvido

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manerinhu: Mensagens: 266; Registrado em: 27 Out 2011, 00:14; Última visita: 14-07-23; Agradeceu: 65 vezes; Agradeceram: 124 vezes

Jun 2014 29 13:19

Polinômio Genérico

Mensagem não lidapor manerinhu » 29 Jun 2014, 13:19

Mensagem não lida por manerinhu » 29 Jun 2014, 13:19

Encontre todos os polinômios [tex3]P(x)[/tex3] , tais que $P(x^2 - 2x) = [P(x-2)]^2$

Resposta

$P(x) = (x+1)^n$

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manerinhu

Auto Excluído (ID:12031): Última visita: 31-12-69

Jun 2014 29 20:50

Re: Polinômio Genérico

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:12031) » 29 Jun 2014, 20:50

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » 29 Jun 2014, 20:50

$P(x^2-2x)=[P(x-2)]^2$
$P((x-1)^2-1)=[P((x-1)-1)]^2$
$P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)...(x-r_n)$
$u = x-1$
$P(u^2-1)=[P(u-1)]^2$
$P(u^2-1)=a(u^2-1-r_1)(u^2-1-r_2)...(u^2-1-r_n)$
$[P(u-1)]^2=a^2(u-1-r_1)^2(u-1-r_2)^2...(u-1-r_n)^2$
$a = a^2 \rightarrow a=0$ (não convém) ou $a=1$
igualando termo a termo:
$(u-1-r_i)^2=(u^2-1-r_i)$
$u^2 -2u(1+r_i) +(1+r_i)^2=u^2 - 1 - r_i$
$-2u(1+r_i) + (1+r_i)^2 = - (1+r_i)$
veja que como $x \in \mathbb{R} \rightarrow u\in \mathbb{R}$ como a expressão acima deve ser válida para todo $u$ devemos ter que o coeficiente que acompanha $u$ (no caso o $-2(1+r_i)$ )) seja igual a zero sempre, ou seja $r_i=-1$ pra todo $i$
como $a=1$ e $r_i=-1$
$P(x) = (x+1)(x+1)(x+1)...(x+1) = (x+1)^n$

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Oiee, alguém poderia me ajudar nesse exercício?
Dado o polinômio P(x) = x^{6} +3 x^{4} +1 , obtenha o valor numérico de P(1 + i)
Obrigada :D

(Resposta 49 +32i)

Últ. msg

(1+i)^2=2i
(1+i)^6=((1+i)^2)^3 =
(2i)^3=-8i
Do mesmo modo: (1+i)^4=(2i)^2=-4
P(1+i)= (1+i)^6+3(1+i)^4+1=
-8i+3(-4)+1
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Pelo teorema do resto:

\begin{cases}
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