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Mensagem não lidapor **PréIteano** » 01 Jun 2014, 22:48 · Mensagem não lida por **PréIteano** » 01 Jun 2014, 22:48

Seja $\overline{z}$ o conjugado do número complexo [tex3]\frac{1}{2} + \frac{i}{2}[/tex3] . A sequência de todos os valores de [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] , tal que [tex3](\overline{z})^{-n}[/tex3] seja um imaginário puro, é uma progressão:

a) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 8
b) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 2
c) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 4
d) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 1

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 01 Jun 2014, 22:59 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 01 Jun 2014, 22:59

Olá, PréIteano.

Calculemos $\overline{z}$ :

$\overline{z} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \therefore \overline{z} = \frac{1-i}{2}$

Vamos desenvolver agora a expressão pedida pelo enunciado:

$(\overline{z})^{-n} = \left( \frac{1}{\overline{z}} \right)^n \therefore \left( \frac{1}{\frac{1-i}{2}} \right)^n \therefore \left( \frac{2}{1-i} \right)^n \therefore \left( \frac{2 \cdot (1+i)}{(1-i) \cdot (1+i)} \right)^n \therefore \left( \frac{2 \cdot (1+i)}{2} \right)^n \\\\ \therefore (1+i)^n$

Para que seja imaginário puro, aquela expansão deve resultar em um número com a parte real nula. Observe que para $n = 2$ , temos:

$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$

Para $n = 6$ , temos:

$(1+i)^6 = [(1+i)^2]^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i$

Para $n = 10$ , temos:

$(1+i)^{10} = [(1+i)^2]^5 = (2i)^5 = 32i^5 = 32i$

e assim por diante.

Letra c.

É interessante lembrar da expansão $(1\pm i)^2 = \pm 2i$ .

Além disso, questão já existente no Fórum: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... 18480.html

Por favor, pesquise antes de postar.

Att.,
Pedro

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