Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Kssy** » 29 Mai 2014, 20:49 · Mensagem não lida por **Kssy** » 29 Mai 2014, 20:49

Podem me mostrar o passo a passo da resolução da integral [tex3]\int\limits_{0}^{\left(\frac{\pi }{2}\right)}\sin^{2}dx[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » 29 Mai 2014, 21:39 · Mensagem não lida por **poti** » 29 Mai 2014, 21:39

Você sabe usar o arco-duplo? No caso, é preciso saber isso $cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)$ em conjunto com a relação fundamental $cos^2(x) + sen^2(x) = 1$ . Isolando o $cos^2(x)$ nessa última e jogando na primeira, sai:

$cos(2x) = 1 - 2sen^2x$

$sen^2x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$

Agora sua integral se resume à integral de uma constante menos a integral de um cosseno simples.

Mensagem não lidapor **Kssy** » 29 Mai 2014, 21:57 · Mensagem não lida por **Kssy** » 29 Mai 2014, 21:57

Não entendi muito bem eu vou fazer [tex3]\int\limits_{0}^{\left(\frac{\pi }{2}\right)}\sin ^{2}dx[/tex3] =[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1-\cos 2x}{2}dx[/tex3] , onde [tex3]\cos 2x = 1 - 2\sin ^{2}x[/tex3] . Então vai ficar
[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1 -1 - 2\sin ^{2}}{2}dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}} - \sin ^{2}dx[/tex3] ?

Mensagem não lidapor **aleixoreis** » 29 Mai 2014, 23:24 · Mensagem não lida por **aleixoreis** » 29 Mai 2014, 23:24

Kssy:
$cos2x=cos^2x-sen^2x\rightarrow cos2x=(1-sen^2x)-sen^2x\rightarrow cos2x=1-2sen^2x\rightarrow sen^2x=\frac{1}{2}.(1-cos2x)$
A integral fica: $\int\frac{1}{2}(1-cos2x)dx\rightarrow \frac{1}{2}[\int dx-\intcos2xdx]$ ...I
Fazendo $u=2x\rightarrow du=2dx\rightarrow dx=\frac{du}{2}$
$\int cos2xdx=\int cosudx=\int cosu.\frac{du}{2}=-\frac{1}{2}senu=-\frac{sen2x}{2}$ ...II
$\int dx=x$ ...III
Substituindo II e III em I:
$\frac{1}{2}[x+\frac{sen2x}{2}]=\frac{x}{2}+\frac{sen2x}{4}$
No intervalo $[0;\frac{\pi}{2}]$
$(\frac{\pi}{4}+\frac{sen\pi}{4})-(\frac{0}{2}+\frac{sen0}{4})=\frac{\pi}{4}$

Penso que é isso.
[ ]'s.

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