Ensino Médio

06 Nov 2006, 19:02

Seja a função

[tex3]\left. f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\\ (x,y)\rightarrow(2x + 3y,x - ay)\right.[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\left. f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\\ (x,y)\rightarrow(2x + 3y,x - ay)\right.[/tex3]

sendo [tex3]T[/tex3] um triângulo de área [tex3]2,[/tex3] tem-se que [tex3]f (T)[/tex3] é um triângulo de área [tex3]1.[/tex3]

A soma dos valores de [tex3]a[/tex3] é:

a) [tex3]3[/tex3]
b) [tex3]{-}3[/tex3]
c) [tex3]2[/tex3]
d) [tex3]{-}2[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]

Mensagempor **caju** » 06 Nov 2006, 23:44 · Mensagem por **caju** » 06 Nov 2006, 23:44

Olá José,

Para resolver essa questão, você deve saber a fórmula da área de um triângulo na geometria analítica. Sendo um triângulo de vértices [tex3]A(x_1, y_1)[/tex3] , [tex3]B(x_2, y_2)[/tex3] e [tex3]C(x_3, y_3)[/tex3]

[tex3]Área = \frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right|=\frac{1}{2}\cdot(x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_3+x_3\cdot y_1-x_2\cdot y_1-x_3\cdot y_2-x_1\cdot y_3)[/tex3]

Então essa é a fórmula da área do triâgulo [tex3]T[/tex3] .
Obs.: lembre-se que o determinante da matriz deve ser calculado em módulo.

Agora devemos utilizar esta mesma fórmula para o triângulo [tex3]f(T)[/tex3] , que tem vértices:

[tex3]A'(2x_1+3Y_1, x_1-ay_1)[/tex3] , [tex3]B'(2x_2+3Y_2, x_2-ay_2)[/tex3] e [tex3]C'(2x_3+3Y_3, x_3-ay_3)[/tex3]

Aplicando a fórmula:

[tex3]\text{Área}' = \frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}2x_1+3Y_1 & x_1-ay_1 & 1 \\2x_2+3Y_2 & x_2-ay_2 & 1 \\ 2x_3+3Y_3 & x_3-ay_3 & 1\end{array}\right|[/tex3]

Efetuando os cálculos corretamente desta matriz, encontraremos:

[tex3]\text{Área}'=-(2a+3)\cdot\left[\frac{1}{2}\cdot(x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_3+x_3\cdot y_1-x_2\cdot y_1-x_3\cdot y_2-x_1\cdot y_3) \right][/tex3]

Note que, o que está dentro dos parênteses maiores é o valor da Área, portanto:

[tex3]\text{Área}'=-(2a+3)\cdot \text{Área}[/tex3]

O enunciado nos diz que [tex3]\text{Área}'=1[/tex3] e [tex3]\text{Área}=2[/tex3] , mas como temos que lidar com módulo, temos as duas equações abaixo:

[tex3]1=-(2a+3)\cdot 2[/tex3]

e

[tex3]-1=-(2a+3)\cdot 2[/tex3]

A primeira nos dá resposta [tex3]a=-\frac{7}{4}[/tex3] e a segunda dá [tex3]a=-\frac{5}{4}[/tex3] a soma destes resultados:

[tex3]-\frac{7}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{12}{4}=-3[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
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