Olimpíadas ⇒ Desigualdade Tópico resolvido

[italoemanuell]

Sejam [tex3]a, b, c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a, b, c[/tex3]

números positivos, tais que [tex3]a+b+c=1[/tex3]

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[tex3]a+b+c=1[/tex3]

.

Mostre que

• [tex3]\left(\frac 1a -1\right)\cdot\left(\frac 1b-1\right)\cdot\left(\frac 1c-1\right)\ge 8[/tex3]

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  [tex3]\left(\frac 1a -1\right)\cdot\left(\frac 1b-1\right)\cdot\left(\frac 1c-1\right)\ge 8[/tex3]

Nota: Pode-se utilizar o seguinte fato, para quaisquer [tex3]x,y[/tex3]

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[tex3]x,y[/tex3]

positivos, então [tex3]\sqrt {(x-y)}\geq 0.[/tex3]

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[tex3]\sqrt {(x-y)}\geq 0.[/tex3]

[marco_sx]

Bom, vamos lá!

• [tex3]a+b+c=1 \Rightarrow -a-b-c=-1 \Rightarrow (1-a)+(1-b)+(1-c)=2[/tex3]

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  [tex3]a+b+c=1 \Rightarrow -a-b-c=-1 \Rightarrow (1-a)+(1-b)+(1-c)=2[/tex3]

Sabe-se que a média aritmética é maior ou igual a média geométrica.

Portanto: [tex3]\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3} \geq \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}[/tex3]

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[tex3]\frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3} \geq \sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}[/tex3]

• [tex3]\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{2}{3} \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \leq \frac{8}{27} \Rightarrow abc(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1) \leq \frac{8}{27}[/tex3]

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  [tex3]\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{2}{3} \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \leq \frac{8}{27} \Rightarrow abc(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1) \leq \frac{8}{27}[/tex3]

  (I)
  
  [tex3]\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \leq \frac{1}{27}[/tex3]

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  [tex3]\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \leq \frac{1}{27}[/tex3]

  (II)

De (I) e (II), concluímos: [tex3]\(\frac{1}{a}-1\)\(\frac{1}{b}-1\)\(\frac{1}{c}-1\) \geq 8[/tex3]

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[tex3]\(\frac{1}{a}-1\)\(\frac{1}{b}-1\)\(\frac{1}{c}-1\) \geq 8[/tex3]

Então italoemanuell, não sei se esta é a melhor solução mas por enquanto foi o único jeito que eu consegui. Por favor, se você souber de uma maneira melhor poste aí.