Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Cláudio02** » 05 Jul 2014, 09:09 · Mensagem não lida por **Cláudio02** » 05 Jul 2014, 09:09

Mostre que

[tex3]\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1} \ge \dfrac{9}{3+a+b+c}[/tex3] ,

[tex3]\forall a,b,c \in \mathbb{R^{+}}[/tex3] .

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 05 Jul 2014, 11:09 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 05 Jul 2014, 11:09

Olá, Cláudio02.

Multiplicando tudo por $(3+a+b+c)$ , temos:

$(3+a+b+c) \cdot \left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \right) \geq 9 \therefore \\\\ \left[ (a+1) + (b+1) + (c+1)\right] \cdot \left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \right) \geq 9 \therefore \\\\ \left( 1+1+1 + \frac{a+1}{b+1} + \frac{a+1}{c+1} + \frac{b+1}{a+1} + \frac{b+1}{c+1} + \frac{c+1}{a+1} + \frac{c+1}{b+1} \right) \geq 9 \therefore \\\\ \left( 3 + \left( \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \right) + \left( \frac{a+1}{c+1} + \frac{c+1}{a+1} \right) + \left( \frac{b+1}{c+1} + \frac{c+1}{b+1} \right) \right) \geq 9$

Vamos trabalhar com as expressões que estão entre os parênteses internos.

$S = \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \therefore S = \frac{(a+1)^2 + (b+1)^2}{ab+a+b+1} \therefore S-2 = \frac{a^2+2a+1 + b^2+2b+1 - 2ab - 2a - 2b - 2}{ab+a+b+1} \therefore \\\\ S-2 = \frac{a^2-2ab+b^2}{ab+a+b+1} \therefore S-2 = \frac{(a-b)^2}{ab+a+b+1}$

Como $(a-b)^2 \geq 0 \text{ e } ab+a+b+1 \geq 0$ , podemos falar que:

$\frac{(a-b)^2}{ab+a+b+1} \geq 0 \rightarrow \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \geq 2$

Os outros parênteses são trabalhados de maneira análoga, de forma que chegamos em:

$\left( 3 + \left( \frac{a+1}{b+1} + \frac{b+1}{a+1} \right) + \left( \frac{a+1}{c+1} + \frac{c+1}{a+1} \right) + \left( \frac{b+1}{c+1} + \frac{c+1}{b+1} \right) \right) \geq 9 \\\\ \Leftrightarrow 3+2+2+2 \geq 9 \therefore 9 \geq 9, C.Q.D.$

Att.,
Pedro

09 Jul 2014, 21:18

Vamos aplicar a desigualdade das médias: [tex3]MA\geq MH[/tex3]
para os números reais:
$a+1$
$b+1$
$c+1$
$MA:$
$MA = \frac {a+1+b+1+c+1}{3} = \frac{a+b+c+3}{3}$
$MH:$
$MH = \frac{3}{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}$
$MA\geq MH$
$\frac{a+b+c+3}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}$
fácil ver que:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}$

PS: Sua desigualdade é válida não só para os reais positivos mas para reais maiores que $-1$ . E a igualdade só ocorre se $a=b=c$

Olimpíadas ⇒ Desigualdade entre reais positivos

Desigualdade entre reais positivos

Re: Desigualdade entre reais positivos

Re: Desigualdade entre reais positivos

Olimpíadas ⇒ Desigualdade entre reais positivos

Desigualdade entre reais positivos

Re: Desigualdade entre reais positivos

Re: Desigualdade entre reais positivos

Entrar | Registrar