Ensino Superior ⇒ Equação de hipérbole Tópico resolvido

[DudaS]

Determine a equação da hipérbole definida pelas condições dadas:
Focos (1,1) e (-1,-1), distância do centro da hipérbole a cada um dos vértices dessa igual a 1.

Se puderem me ajudar, por favor. Essa seria uma hipérbole rotacionada certo? De 45 graus. Como eu faria nesse caso? Teria que usar matriz de rotação ou algum daqueles procedimentos usando autovalor e autovetor que aprendemos em GAAL? Pelo que me lembro na equação dessa teríamos o termo cruzado xy, já que ela é rotacionada. Mas não estou conseguindo desenvolver. Agradeço qualquer ajuda!

[παθμ]

DudaS,

Você pode definir o sistema de coordenadas cartesiano rotacionado [tex3](x', y'),[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x', y'),[/tex3]

que corresponde a uma rotação de [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

no sentido anti-horário do sistema original. Temos [tex3]\theta = 45 \degree.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta = 45 \degree.[/tex3]

[tex3]c=\sqrt{2}, \; \; a=1, \; \; b=\sqrt{c^2-a^2}=1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=\sqrt{2}, \; \; a=1, \; \; b=\sqrt{c^2-a^2}=1.[/tex3]

Então a equação da hipérbole é [tex3]x'^2-y'^2=1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x'^2-y'^2=1.[/tex3]

Agora, vamos usar a transformação de (x', y') para (x, y):

[tex3]x'=x \cos(\theta)+y \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x'=x \cos(\theta)+y \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)[/tex3]

[tex3]y'=y \cos(\theta)- x \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt2}(y-x).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y'=y \cos(\theta)- x \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt2}(y-x).[/tex3]

Daí, [tex3]\frac{1}{2}(x+y)^2-\frac{1}{2}(y-x)^2=1 \Longrightarrow \boxed{2xy=1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}(x+y)^2-\frac{1}{2}(y-x)^2=1 \Longrightarrow \boxed{2xy=1}[/tex3]

[DudaS]

παθμ, muito obrigada!
Aí no caso eu sempre tentaria pensar usando matriz de rotação né?
Aquela aplicação de diagonalização de matrizes eu só usaria se fosse o contrário? Ou seja se o exercício já me desse a equação com um termo cruzado xy e eu tivesse que identificar os focos etc?

[παθμ]

Aí no caso eu sempre tentaria pensar usando matriz de rotação né?

Sim, o que eu fiz é análogo a utilizar a matriz de rotação. É uma abordagem boa quando você quer achar a equação da cônica rotacionada.

Aquela aplicação de diagonalização de matrizes eu só usaria se fosse o contrário? Ou seja se o exercício já me desse a equação com um termo cruzado xy e eu tivesse que identificar os focos etc?

Sim, isso é melhor quando você já tem a equação da cônica rotacionada.

[DudaS]

παθμ, beleza! Valeu!!