Determine a equação da hipérbole definida pelas condições dadas:
Focos (1,1) e (-1,-1), distância do centro da hipérbole a cada um dos vértices dessa igual a 1.
Se puderem me ajudar, por favor. Essa seria uma hipérbole rotacionada certo? De 45 graus. Como eu faria nesse caso? Teria que usar matriz de rotação ou algum daqueles procedimentos usando autovalor e autovetor que aprendemos em GAAL? Pelo que me lembro na equação dessa teríamos o termo cruzado xy, já que ela é rotacionada. Mas não estou conseguindo desenvolver. Agradeço qualquer ajuda!
Ensino Superior ⇒ Equação de hipérbole Tópico resolvido
- παθμ
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Fev 2024
20
11:15
Re: Equação de hipérbole
DudaS,
Você pode definir o sistema de coordenadas cartesiano rotacionado [tex3](x', y'),[/tex3] que corresponde a uma rotação de [tex3]\theta[/tex3] no sentido anti-horário do sistema original. Temos [tex3]\theta = 45 \degree.[/tex3]
[tex3]c=\sqrt{2}, \; \; a=1, \; \; b=\sqrt{c^2-a^2}=1.[/tex3] Então a equação da hipérbole é [tex3]x'^2-y'^2=1.[/tex3]
Agora, vamos usar a transformação de (x', y') para (x, y):
[tex3]x'=x \cos(\theta)+y \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)[/tex3]
[tex3]y'=y \cos(\theta)- x \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt2}(y-x).[/tex3]
Daí, [tex3]\frac{1}{2}(x+y)^2-\frac{1}{2}(y-x)^2=1 \Longrightarrow \boxed{2xy=1}[/tex3]
Você pode definir o sistema de coordenadas cartesiano rotacionado [tex3](x', y'),[/tex3] que corresponde a uma rotação de [tex3]\theta[/tex3] no sentido anti-horário do sistema original. Temos [tex3]\theta = 45 \degree.[/tex3]
[tex3]c=\sqrt{2}, \; \; a=1, \; \; b=\sqrt{c^2-a^2}=1.[/tex3] Então a equação da hipérbole é [tex3]x'^2-y'^2=1.[/tex3]
Agora, vamos usar a transformação de (x', y') para (x, y):
[tex3]x'=x \cos(\theta)+y \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)[/tex3]
[tex3]y'=y \cos(\theta)- x \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt2}(y-x).[/tex3]
Daí, [tex3]\frac{1}{2}(x+y)^2-\frac{1}{2}(y-x)^2=1 \Longrightarrow \boxed{2xy=1}[/tex3]
Fev 2024
20
14:52
Re: Equação de hipérbole
παθμ, muito obrigada!
Aí no caso eu sempre tentaria pensar usando matriz de rotação né?
Aquela aplicação de diagonalização de matrizes eu só usaria se fosse o contrário? Ou seja se o exercício já me desse a equação com um termo cruzado xy e eu tivesse que identificar os focos etc?
Aí no caso eu sempre tentaria pensar usando matriz de rotação né?
Aquela aplicação de diagonalização de matrizes eu só usaria se fosse o contrário? Ou seja se o exercício já me desse a equação com um termo cruzado xy e eu tivesse que identificar os focos etc?
- παθμ
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Fev 2024
20
14:55
Re: Equação de hipérbole
Sim, o que eu fiz é análogo a utilizar a matriz de rotação. É uma abordagem boa quando você quer achar a equação da cônica rotacionada.
Sim, isso é melhor quando você já tem a equação da cônica rotacionada.
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