IME / ITA ⇒ (IME-1983) Função Quadrática Tópico resolvido

[Jpgonçalves]

Dada a equação: [tex3] 2mx² - 2x - 3m -2 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] 2mx² - 2x - 3m -2 = 0[/tex3]

, onde [tex3]m ∈ R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m ∈ R[/tex3]

:

a) Determine m, tal que uma raiz seja nula, calcule a outra raiz.
b) Mostre que a equação dada tem sempre duas raízes distintas.
c) Determine m para que uma raiz seja inferior a 1 e outra superior a 1.

[petras]

Jpgonçalves,

[tex3]a) f(0) = -3m-2=0 \implies \boxed{m=-\frac{2}{3}} \\
x_2=-\frac{b}{a} = \dfrac{2}{2.(-\dfrac{2}{3})}=\boxed{-\frac{3}{2}}\\
b) \Delta = (-2)^2+4(2m)(3m+2) = 24[(m+\frac{1}{3})^2+\frac{1}{18}] > 0 \\
\therefore \text{2 raízes reais e distintas}(m\neq 0)\\\
c) (r_1-1)(r_2-1)=1-(r_1+r_2)+(r_1r_2) <0 \implies 1- \frac{1}{m}-\frac{3m+2}{2m} <0\\
\begin{cases}
m>0 \\
2m-2-3m-2 < 0\\
\therefore m > 0 \\
\begin{cases}
m < 0 \\
2m-2 -3m-2 > 0 \\
\therefore m < - 4
\end{cases}
\end{cases} \\
\therefore \boxed{m < -4 \vee m > 0} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a) f(0) = -3m-2=0 \implies \boxed{m=-\frac{2}{3}} \\
x_2=-\frac{b}{a} = \dfrac{2}{2.(-\dfrac{2}{3})}=\boxed{-\frac{3}{2}}\\
b) \Delta = (-2)^2+4(2m)(3m+2) = 24[(m+\frac{1}{3})^2+\frac{1}{18}] > 0 \\
\therefore \text{2 raízes reais e distintas}(m\neq 0)\\\
c) (r_1-1)(r_2-1)=1-(r_1+r_2)+(r_1r_2) <0 \implies 1- \frac{1}{m}-\frac{3m+2}{2m} <0\\
\begin{cases}
m>0 \\
2m-2-3m-2 < 0\\
\therefore m > 0 \\
\begin{cases}
m < 0 \\
2m-2 -3m-2 > 0 \\
\therefore m < - 4
\end{cases}
\end{cases} \\
\therefore \boxed{m < -4 \vee m > 0} [/tex3]

(Solução:SérgioLIma)

[Jpgonçalves]

Muito obrigado, petras!