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40
Ensino Fundamental ⇒ Linhas Proporcionais Tópico resolvido
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ILOVEMATH
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Out 2023
02
18:46
Linhas Proporcionais
Calcule o valor de x na figura abaixo:
40
40
- Anexos
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παθμ
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Out 2023
02
19:31
Re: Linhas Proporcionais
ILOVEMATH,
Veja que [tex3]4\alpha=180\degree \Longrightarrow \alpha = 45 \degree.[/tex3]
Logo, os triângulos [tex3]\triangle ABD[/tex3]
e [tex3]\triangle BCE[/tex3]
são retângulos. Ademais, sendo [tex3]\theta = \angle B\hat{A}D[/tex3]
, temos [tex3]\theta + 145 \degree +\angle C \hat{E} B=180 \degree \Longrightarrow \angle C \hat{E} B=45 \degree - \theta.[/tex3]
Além disso, defina [tex3]b=AB[/tex3]
e [tex3]c=BD[/tex3]
.
Teorema da bissetriz interna em [tex3]\triangle ABD:[/tex3]
[tex3]\frac{12}{b}=\frac{8}{c} \Longrightarrow 2b=3c \Longrightarrow 4b^2=9c^2[/tex3]
Pitágoras em [tex3]\triangle ABD:[/tex3]
[tex3]b^2+c^2=400 \Longrightarrow 13c^2=1600 \Longrightarrow c=\frac{40}{\sqrt{13}}[/tex3] e [tex3]b=\frac{60}{\sqrt{13}}.[/tex3]
Adicionalmente, [tex3]\sin(\theta)=\frac{c}{20}=\frac{2}{\sqrt{13}},[/tex3] [tex3]\cos(\theta)=\frac{3}{\sqrt{13}}[/tex3] , [tex3]\sin(45 \degree - \theta)=\sin(45 \degree) \cos(\theta) - \sin(\theta) \cos(45\degree)=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}.[/tex3]
Lei dos senos em [tex3]\triangle BDE:[/tex3]
[tex3]\frac{x}{\sin(45 \degree)}=\frac{c}{\sin(45 \degree - \theta)} \Longrightarrow \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{40/\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}} \Longrightarrow \boxed{x=40} [/tex3]
- Screenshot 2023-10-02 192321.png (187.24 KiB) Exibido 328 vezes
Teorema da bissetriz interna em [tex3]\triangle ABD:[/tex3]
[tex3]\frac{12}{b}=\frac{8}{c} \Longrightarrow 2b=3c \Longrightarrow 4b^2=9c^2[/tex3]
Pitágoras em [tex3]\triangle ABD:[/tex3]
[tex3]b^2+c^2=400 \Longrightarrow 13c^2=1600 \Longrightarrow c=\frac{40}{\sqrt{13}}[/tex3] e [tex3]b=\frac{60}{\sqrt{13}}.[/tex3]
Adicionalmente, [tex3]\sin(\theta)=\frac{c}{20}=\frac{2}{\sqrt{13}},[/tex3] [tex3]\cos(\theta)=\frac{3}{\sqrt{13}}[/tex3] , [tex3]\sin(45 \degree - \theta)=\sin(45 \degree) \cos(\theta) - \sin(\theta) \cos(45\degree)=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}.[/tex3]
Lei dos senos em [tex3]\triangle BDE:[/tex3]
[tex3]\frac{x}{\sin(45 \degree)}=\frac{c}{\sin(45 \degree - \theta)} \Longrightarrow \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{40/\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}} \Longrightarrow \boxed{x=40} [/tex3]
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