Ensino Médio ⇒ Demonstração alinhamento Tópico resolvido
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geobson
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Mai 2023
31
20:21
Demonstração alinhamento
Na figura, mosque E, F e G pertencem a uma mesma reta, sabendo que tais pontos são centros dos círculos mostrados.
- Anexos
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- IMG_0506.jpeg (48.67 KiB) Exibido 205 vezes
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FelipeMartin
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Jun 2023
01
01:42
Re: Demonstração alinhamento
com esse teorema do NigrumCibum, que está provado no link abaixo, dá pra provar fácil
Sejam [tex3]c_{azul}, c_{vermelho}[/tex3] e [tex3]c_{verde} [/tex3] os círculos azul, verde e vermelho respectivamente; então, defina:
[tex3]X_{vd} = c_{verde} \cap AB, X_{az} = c_{azul} \cap AB[/tex3] e
[tex3]Y_{vd} = c_{verde} \cap CD, Y_{az} = c_{azul} \cap CD[/tex3] .
O teorema do NigrumCibum (sawayana) diz que [tex3]F, X_{vd}[/tex3] e [tex3] Y_{vd}[/tex3] são alinhados e que [tex3]F, X_{az}[/tex3] e [tex3] Y_{az}[/tex3] são alinhados.
Temos [tex3]EX_{az} \perp AB \perp GX_{vd} \implies GX_{vd} \parallel EX_{az} [/tex3]
Sabemos que [tex3]DE[/tex3] é mediatriz de [tex3]X_{az}Y_{az}[/tex3] e [tex3]DE[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle X_{az} DY_{az}[/tex3] .
Sabemos que [tex3]DG[/tex3] é mediatriz de [tex3]X_{vd}Y_{vd}[/tex3] e [tex3]DG[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle X_{vd} DY_{vd}[/tex3] .
como as bissetrizes de ângulos suplementares são complementares, [tex3]\angle EDG = 90^{\circ}[/tex3] , então,
[tex3]X_{vd}Y_{vd} \parallel DE[/tex3] e [tex3]X_{az}Y_{az} \parallel DG[/tex3] .
A recíproca do teorema de pappus aplicado ao hexágono [tex3]GX_{vd}FX_{az}EDG[/tex3] implica que [tex3]E,F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] são colineares.
viewtopic.php?f=3&t=75081NigrumCibum escreveu: ↑31 Jul 2021, 10:43 Dá pra provar um caso mais geral, onde D varia ao longo do lado AB. Provando as duas propriedades dá pra provar que I é incentro.
20210731_103939.jpg
Sejam [tex3]c_{azul}, c_{vermelho}[/tex3] e [tex3]c_{verde} [/tex3] os círculos azul, verde e vermelho respectivamente; então, defina:
[tex3]X_{vd} = c_{verde} \cap AB, X_{az} = c_{azul} \cap AB[/tex3] e
[tex3]Y_{vd} = c_{verde} \cap CD, Y_{az} = c_{azul} \cap CD[/tex3] .
O teorema do NigrumCibum (sawayana) diz que [tex3]F, X_{vd}[/tex3] e [tex3] Y_{vd}[/tex3] são alinhados e que [tex3]F, X_{az}[/tex3] e [tex3] Y_{az}[/tex3] são alinhados.
Temos [tex3]EX_{az} \perp AB \perp GX_{vd} \implies GX_{vd} \parallel EX_{az} [/tex3]
Sabemos que [tex3]DE[/tex3] é mediatriz de [tex3]X_{az}Y_{az}[/tex3] e [tex3]DE[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle X_{az} DY_{az}[/tex3] .
Sabemos que [tex3]DG[/tex3] é mediatriz de [tex3]X_{vd}Y_{vd}[/tex3] e [tex3]DG[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle X_{vd} DY_{vd}[/tex3] .
como as bissetrizes de ângulos suplementares são complementares, [tex3]\angle EDG = 90^{\circ}[/tex3] , então,
[tex3]X_{vd}Y_{vd} \parallel DE[/tex3] e [tex3]X_{az}Y_{az} \parallel DG[/tex3] .
A recíproca do teorema de pappus aplicado ao hexágono [tex3]GX_{vd}FX_{az}EDG[/tex3] implica que [tex3]E,F[/tex3] e [tex3]G[/tex3] são colineares.
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φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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FelipeMartin
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Jun 2023
01
06:48
Re: Demonstração alinhamento
o site não deixa mais mandar mais de uma URL por resposta, então, segue aqui um link para o teorema de Pappus citado https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Papo
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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