Ensino Superior

O movimento de uma partícula é dado por [tex3]\sigma (t)=(3cost,4sent)[/tex3] . Calcule o comprimento da componente normal da aceleração no instante t = 0.

Resposta

3

Mensagem não lidapor **Cardoso1979** » 09 Ago 2022, 11:36

Observe

Eba!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com gabarito e com a FONTE

Uma solução:

A fórmula do vetor aceleração é:

A(t) = v'(t).T(t) + v(t).|| T'(t) ||.N(t).

Tal que;

A(t) = σ''(t) é o vetor aceleração;

v( t ) = || V( t ) || = || σ'( t ) || é a velocidade escalar;

E os coeficientes de T( t ) e N( t ) são, respectivamente, o componente tangencial ( A [tex3]_{T}[/tex3] ) e normal ( A [tex3]_{N}[/tex3] ) da aceleração, ou seja:

A [tex3]_{T}[/tex3] = v'( t )

E:

A [tex3]_{N}[/tex3] = v(t).|| T'( t ) ||

Como a aceleração possui esses dois componentes que são perpendiculares entre si e formam um triângulo retângulo ( veja a figura abaixo ) , ela pode ser definida através do Teorema de Pitágoras:

: IMG-20220809-WA0005.jpg (6.83 KiB) Exibido 380 vezes

Assim:

|| A(t) ||^2 = A² [tex3]_{T}[/tex3] + A² [tex3]_{N}[/tex3]

E, isolando a componente normal:

A [tex3]_{N}[/tex3] = √[ || A(t) ||^2 - A² [tex3]_{T}[/tex3] ]

Dessa forma, vamos encontrar a equação geral da aceleração para então verificar as componentes. Tendo a equação:

σ( t ) = ( 3cos(t) , 4sen(t) )

Então, derivando-a uma vez, obtemos:

σ'( t ) = ( - 3sen(t) , 4cos(t) ) = V( t )

E, fazendo isso novamente:

σ''( t ) = ( - 3cos(t) , - 4sen(t) ) = A( t ).

Ainda, a velocidade escalar terá o valor:

v(t) = | σ'( t ) | = √{ [ - 3sen(t) ]^2 + [ 4cos(t) ]^2 }

Logo:

v(t) = √[ 9sen²(t) + 16cos²(t) ]

Derivando essa função, obtemos:

v'( t ) = [ 18sen(t).cos(t) - 32sen(t).cos (t) ]/{ 2√[ 9sen²(t) + 16cos²(t) ] }

Com esses resultados, torna-se possível fazermos o cálculo que queremos. Como a componente normal é dada por :

A [tex3]_{N}[/tex3] = √[ || A(t) ||^2 - A² [tex3]_{T}[/tex3] ]

Teremos:

|| A(t) ||^2 = { √[ ( - 3cos(t) )^2 + ( - 4sen(t) )^2 ] } ^2

Logo:

|| A(t) ||^2 = 9cos²(t) ) + 16sen²(t)

E:

[tex3]A_{T}^2 = \left(- \frac{ 14sen(t).cos (t) }{2\sqrt{9sen^2(t) + 16cos^2(t)}}\right)^2[/tex3]

Assim, substituindo na fórmula da componente normal, vem;

[tex3]A_{N}(t) = \sqrt{[ 9cos^2(t) + 16sen^2(t) ] -
\left(- \frac{ 14sen(t).cos (t) }{2\sqrt{9sen^2(t) + 16cos^2(t)}}\right)^2}[/tex3]

[tex3]A_{N}(t) = \sqrt{[ 9cos^2(t) + 16sen^2(t) ] +
\left( \frac{ 14sen(t).cos (t) }{2\sqrt{9sen^2(t) + 16cos^2(t)}}\right)^2}[/tex3]

O autor está pedindo neste exercício para encontrar o resultado no instante t = 0 , então;

[tex3]A_{N}(0) = \sqrt{[ 9cos^2(0) + 16sen^2(0) ] +
\left( \frac{ 14sen(0).cos (0) }{2\sqrt{9sen^2(0) + 16cos^2(0)}}\right)^2}[/tex3]

[tex3]A_{N}(0) = \sqrt{[ 9.1 + 16.0 ] +
\left( \frac{ 14.0.1 }{2\sqrt{9.0 + 16.1}}\right)^2}[/tex3]

[tex3]A_{N}(0) = \sqrt{[ 9 + 0 ] +
\left( \frac{ 0 }{2\sqrt{ 0 + 16}}\right)^2}[/tex3]

A [tex3]_{N}[/tex3] ( 0 ) = √( 9 + 0 )

A [tex3]_{N}[/tex3] ( 0 ) = √( 9 )

Portanto,

A [tex3]_{N}[/tex3] ( 0 ) = 3

Excelente estudo!

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