IME / ITA ⇒ (EFOMM - 2019) Inequação Tópico resolvido

[MatthewVital]

|[tex3]x^{7} - x^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{7} - x^{4}[/tex3]

+x-1||[tex3]x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}[/tex3]

-4x+3|([tex3]x^{b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{b}[/tex3]

-7x-54)[tex3]\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq [/tex3]

0. Seja I o conjunto dos números inteiros que satisfaz a desigualdade e n a quantidade de elementos de I. Com relação a n, podemos afirmar que:

a) n é um número primo
b) n é divisível por 7.
c) n não divide 53904.
d) n é um quadrado perfeito.
e) n é divisível por 6.

GABARITO D.png (833 Bytes) Exibido 875 vezes

[petras]

MatthewVital,


[tex3]\mathsf{
y = x^7-x^4+x-1 \implies y'=7x^6-4x^3+1 \implies 7y^2-4y+1\\
\Delta =16-28 =-12 < 0 \therefore y' > 0 (\forall x \in \mathbb{R})\implies função ~monótona~crescente\\
y = x^7-x^4+x-1 \Leftrightarrow x^4(x^3-1)+x-1=0\Leftrightarrow x^4(x-1)(x^2+x+1)+1(x-1)=0\Leftrightarrow \\
(x-1)(x^6+x^5+x^4+1)=0:\text{Como f é monótona crescente, então
x= 1 é a única raiz real de f}.\\
|x| \geq 0 (\forall x \in \mathbb{R})\\
|x^7-x^4+x-1 |.|x^2-4x+3|.(x^2-7x+54)\leq 0\\
\Leftrightarrow x^7-x^4+x-1 =0 \vee x^2-4x+3=0 \vee (x^2-7x+54)\leq 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \vee (x=1 \vee x=3) \vee \underbrace{\frac{7-\sqrt{265}}{2}}_{\approx -4,65}\leq x \leq \underbrace{\frac{7+\sqrt{265}}{2}}_{\approx 11,65}\\\\
x \in \mathbb{Z}:(x=1 \vee x=3) \vee -4 \leq x\leq 11 \Leftrightarrow -4 \leq x \leq 11\\
\Leftrightarrow I=\{-4,-3...,10,11\}\implies \boxed{n(I)=16(quadrado~perfeito)}\color{green}\checkmark
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
y = x^7-x^4+x-1 \implies y'=7x^6-4x^3+1 \implies 7y^2-4y+1\\
\Delta =16-28 =-12 < 0 \therefore y' > 0 (\forall x \in \mathbb{R})\implies função ~monótona~crescente\\
y = x^7-x^4+x-1 \Leftrightarrow x^4(x^3-1)+x-1=0\Leftrightarrow x^4(x-1)(x^2+x+1)+1(x-1)=0\Leftrightarrow \\
(x-1)(x^6+x^5+x^4+1)=0:\text{Como f é monótona crescente, então
x= 1 é a única raiz real de f}.\\
|x| \geq 0 (\forall x \in \mathbb{R})\\
|x^7-x^4+x-1 |.|x^2-4x+3|.(x^2-7x+54)\leq 0\\
\Leftrightarrow x^7-x^4+x-1 =0 \vee x^2-4x+3=0 \vee (x^2-7x+54)\leq 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \vee (x=1 \vee x=3) \vee \underbrace{\frac{7-\sqrt{265}}{2}}_{\approx -4,65}\leq x \leq \underbrace{\frac{7+\sqrt{265}}{2}}_{\approx 11,65}\\\\
x \in \mathbb{Z}:(x=1 \vee x=3) \vee -4 \leq x\leq 11 \Leftrightarrow -4 \leq x \leq 11\\
\Leftrightarrow I=\{-4,-3...,10,11\}\implies \boxed{n(I)=16(quadrado~perfeito)}\color{green}\checkmark
}[/tex3]

(Solução:RenatoMadeira)