Pré-Vestibular ⇒ FGV-SP Matrizes e determinante Tópico resolvido

[ÁguiaB]

Os elementos da matriz A = (aij) 3x3 representam a quantidade de voos diários apenas entre os aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe- -se que:
• quando j = 2, o número de voos é sempre o mesmo,
• quando i = j, o número de voos é sempre o mesmo,
• quando i = 3, o número de voos é sempre o mesmo; • a11 ≠ 0, e det A = 0.
De acordo com as informações, é correto afirmar que o conjunto solução com as possibilidades de a11 é igual a
A. {a21 , a13}
B.{a21 , a23}
C.{a22 , a13}
D.{a21 , a22}
E.{a13 , a22}

Resposta

---

A

Fiz o determinante da matriz da imagem (chamei de A, B, C os valores que não são englobados pelas restrições da questao) e cheguei no seguinte:
Det = x³+cx²+bax-bx²-cx²-ax²=0
Assim, c pode assumir qualquer valor e para o resultado ser zero x³ + bax = bx² + ax². Porém, não consegui mais saber como prosseguir. Só pensei que ou a =x ou b=x para eliminar o x³, mas não sei qual definir.
Se alguém puder me ensinar, eu agradeço

[petras]

ÁguiaB,
Montando a mariz:
[tex3]\mathtt{\begin{bmatrix}
x_{\neq 0}& x &a_{13} \\
a_{21}&x&a_{23} \\
x&x &x
\end{bmatrix}\\
det A = x^3 + \cancel{x^2 . a_{23 }}+ x . a_{21} . a_{13} – x^2 . a_{13} – x^2 . a_{21} – \cancel{x^2 . a_{23}} = 0 \\
⇔ x^3-x^2(a_{13}+a_{21})+a_{13}a_{21}x=0\\
⇔x^2–x(a_{13} + a_{21}) + a_{13} . a_{21} = 0 \\
De: x^2-Sx+P\\
⇔ x = a_{13} ~ou~ x = a_{21}, (soma ~das~ raízes = a_{13} + a_{21})\\
P= a_{21} . a_{13}.\\
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{\begin{bmatrix}
x_{\neq 0}& x &a_{13} \\
a_{21}&x&a_{23} \\
x&x &x
\end{bmatrix}\\
det A = x^3 + \cancel{x^2 . a_{23 }}+ x . a_{21} . a_{13} – x^2 . a_{13} – x^2 . a_{21} – \cancel{x^2 . a_{23}} = 0 \\
⇔ x^3-x^2(a_{13}+a_{21})+a_{13}a_{21}x=0\\
⇔x^2–x(a_{13} + a_{21}) + a_{13} . a_{21} = 0 \\
De: x^2-Sx+P\\
⇔ x = a_{13} ~ou~ x = a_{21}, (soma ~das~ raízes = a_{13} + a_{21})\\
P= a_{21} . a_{13}.\\
}[/tex3]

O conjunto solução com as possibiliddes de a₁₁ (x no caso) é igual a {a₂₁; a₁₃}.
(Solução:Objetivo)