Cap. 22 - Áreas de Regiones Circulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:28 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
28 - Na figura mostrada se tem 3 circunferências
secantes e congruentes da raios 1m respectivamente.
Calcular a área da regão sombreada
(O e O' são centros).

Resposta

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B) [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]m²

[petras]

Sejam α, β e θ as cricunferências de centro O,O′,O′.

Trace o diâmetro MN, onde M está sobre α, da circunferência β, una os centros OO′, trace a reta MO′ que resultará em um ΔOO′M equilátero de lado l=1.

Supondo que a circunferência α passe pelo centro da circunferencia θ, una os centros OO″ e note que OO′′=OO′ logo, chamaremos de J a interseção da circunferência β com a circunferência θ.

Trace JO′ e podemos ver algo brilhante, OO′O′′J é um quadrado de lado l=1.

Seja K interseção de α com β e L a interseção de α com θ calculemos as áreas brancas S_b de α .

[tex3]Area de segmento~ S_s=\frac{π}{6}-\frac{\sqrt3}{4}\\
Setor ~60~ S_{60}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Area de segmento~ S_s=\frac{π}{6}-\frac{\sqrt3}{4}\\
Setor ~60~ S_{60}[/tex3]

Area branca dos setores côngruos (O′OL e KOO″ ) [tex3]Sc=\frac{π}{12}−S_s[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Sc=\frac{π}{12}−S_s[/tex3]

área Hachurada Sh

[tex3]Sb=2S_{60}+2S_s+2S_c=\\
S_{b}=2*\frac{\pi }{6}+2*(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4})+2(\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4})\\
S_{b}=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\\
\therefore S_{h}=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi -2\pi -\pi }{6}=\color{red}\frac{\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Sb=2S_{60}+2S_s+2S_c=\\
S_{b}=2*\frac{\pi }{6}+2*(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4})+2(\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4})\\
S_{b}=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\\
\therefore S_{h}=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi -2\pi -\pi }{6}=\color{red}\frac{\pi }{2}[/tex3]

(Soluçõa:jvmago - viewtopic.php?f=2&t=62396&p=166337&hili ... da#p166337)

OO′=OO′′=O′′J=O′J e que O′J é tangente a circunferência θ
e que é tangente a circunferência