Cap. 21 - Áreas de Regiones Poligonales ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXI - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:15 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
15 - No trapézio ABCD de bases BC e AD
(BC < AD), cujas diagonais se cortam em "O";
os prolongamentos dos lados não paralelos
se interceptam em "'E". A área de BOC e AOD
medem 9 e 16 m² respectivamente.
Calcular a relação das longitudes dos
inraios dos triángulos BCE e AED.

Resposta

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C) [tex3]\frac{3}{4}[/tex3]

[petras]

[tex3]\mathsf{S_{BOC}.S_{AOD} =S_{BOA}.S_{COD} ~mas S_{AOB}=S_{CDO}\\
\therefore S_{ABO} = \sqrt{9.16} =12 = S_{CDO}\implies S_{ABCD} = 9+16+24 = 49\\
△AOD \sim △BOC \therefore BC:AD=3:4\\
\frac{ △AOD}{{△BOC } }= \frac{16}{9}\\
h_{OAD} = h\\
h_{OBC}= 3hh. \\
h_{EAD} = h1, \implies h_{EBC} = \frac{7h}{4}\\
\therefore \frac{h1−\frac{7h}{4}}{h1}=\frac{3}{4}⟹h1=7h\\
\text{△AOD e △EAD tem a mesma base}\\
S△EAD=7⋅S△AOD=16⋅7=112\\
\therefore S_{BCE}=S_{EAD}-S_{ABCD} =112 - 49 = 63\\
\frac{S_{BCE}}{S_{AED}}=(\frac{s}{t})^2\implies \frac{s}{t} = \sqrt\frac{63}{112}\\
\therefore \boxed{\color{red}\frac{s}{t} = \frac{3}{4}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{S_{BOC}.S_{AOD} =S_{BOA}.S_{COD} ~mas S_{AOB}=S_{CDO}\\
\therefore S_{ABO} = \sqrt{9.16} =12 = S_{CDO}\implies S_{ABCD} = 9+16+24 = 49\\
△AOD \sim △BOC \therefore BC:AD=3:4\\
\frac{ △AOD}{{△BOC } }= \frac{16}{9}\\
h_{OAD} = h\\
h_{OBC}= 3hh. \\
h_{EAD} = h1, \implies h_{EBC} = \frac{7h}{4}\\
\therefore \frac{h1−\frac{7h}{4}}{h1}=\frac{3}{4}⟹h1=7h\\
\text{△AOD e △EAD tem a mesma base}\\
S△EAD=7⋅S△AOD=16⋅7=112\\
\therefore S_{BCE}=S_{EAD}-S_{ABCD} =112 - 49 = 63\\
\frac{S_{BCE}}{S_{AED}}=(\frac{s}{t})^2\implies \frac{s}{t} = \sqrt\frac{63}{112}\\
\therefore \boxed{\color{red}\frac{s}{t} = \frac{3}{4}}}[/tex3]