Ensino Médio ⇒ Inequação Logaritimica - Iezzi Tópico resolvido

[samcinati09]

resolva a inequação
gabarito: x maior que 0 e menor que 1/8 ou x maior que 1 e menor que 2:
[tex3]\ x^(2 - {log_ 2^2}{x}-\log_ 2 {x^2}) > (\frac{1}{x})\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ x^(2 - {log_ 2^2}{x}-\log_ 2 {x^2}) > (\frac{1}{x})\\[/tex3]

[petras]

No latex quando utilizar o expoente coloque ele entre chaves e não entre parenteses..
Como não sabemos o valor de x precisa cer verificado os 2 casos: (0<x<1) e (x>1)

[tex3]\mathsf{C.E.: x >0\\
\boxed{x>1}(I)\\
x^{2 - {log_ 2^2}{x}-\log_ 2 {x^2}} > x^{-1}\\
2 - {log_ 2^2}{x}-2log_ {x^2} > -1\\
log_2^2x+2log_2x-3 < 0 (log_2x=k)\\
k^2+2k-3 < 0 \implies -3 < k < 1\\
log_2x >-3 \implies x > \frac{1}{8}(II)\\
log_2x <1 \implies x < 2(III)\\
De(I)e(II)e(III):\boxed{1 < x < 2}i)\\
\boxed{0 < x < 1}(IV)\\
2 - {log_ 2^2}{x}-2log_ {x^2} {\color{red}<} -1\\
log_2^2x+2log_2x-3 > 0 (log_2x=k)\\
k^2+2k-3 > 0 \implies k < -3 \vee k > 1\\
log_2x <-3 \implies x < \frac{1}{8}(V)\\
log_2x >1 \implies x > 2(VI)\\
De(IV)e(V)e(VI):\boxed{0 < x <\frac{1}{8}}ii)\\
De(i)e(ii): \boxed{0 < x < \frac{1}{8} \vee 1 < x <2}

}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{C.E.: x >0\\
\boxed{x>1}(I)\\
x^{2 - {log_ 2^2}{x}-\log_ 2 {x^2}} > x^{-1}\\
2 - {log_ 2^2}{x}-2log_ {x^2} > -1\\
log_2^2x+2log_2x-3 < 0 (log_2x=k)\\
k^2+2k-3 < 0 \implies -3 < k < 1\\
log_2x >-3 \implies x > \frac{1}{8}(II)\\
log_2x <1 \implies x < 2(III)\\
De(I)e(II)e(III):\boxed{1 < x < 2}i)\\
\boxed{0 < x < 1}(IV)\\
2 - {log_ 2^2}{x}-2log_ {x^2} {\color{red}<} -1\\
log_2^2x+2log_2x-3 > 0 (log_2x=k)\\
k^2+2k-3 > 0 \implies k < -3 \vee k > 1\\
log_2x <-3 \implies x < \frac{1}{8}(V)\\
log_2x >1 \implies x > 2(VI)\\
De(IV)e(V)e(VI):\boxed{0 < x <\frac{1}{8}}ii)\\
De(i)e(ii): \boxed{0 < x < \frac{1}{8} \vee 1 < x <2}

}
[/tex3]

[samcinati09]

Petras, só fiquei confuso em uma coisa: pq ocorre a invalidez do x maior que 1/8? Só por conta que na outra ''hipotése'' a conclusão é que x têm de ser menor que x 1/8

[petras]

samcinati09,
POr que x > 1/8 acontece quando analisamos x >1(I) então ele não entra na solução deste caso e sim o x >1