Ensino Médio ⇒ trigonometria Tópico resolvido

[gabrielmacc]

14) Solucione a equação cos 𝑥 + cos 𝑦 − cos(𝑥 + 𝑦) = 3/2

cheguei a usar prostaferese no (cos 𝑥 + cos 𝑦) e depois forcei o arco duplo no (− cos(𝑥 + 𝑦)), ai organizando chegou em uma eq do 2 grau com o cos, mas dai em diante n soube como continuar

a resposta esta na foto

[FelipeMartin]

talvez seja melhor fazer a prostaférese no [tex3]\cos (y) - \cos (x+y)[/tex3]

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[tex3]\cos (y) - \cos (x+y)[/tex3]

porque ai você vai conseguir isolar o [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

em função do [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

melhor. Teoricamente, a solução é uma curva [tex3]y = f(x)[/tex3]

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[tex3]y = f(x)[/tex3]

, não?

[gabrielmacc]

posso tentar usar o prostafere nesse ai, mas a solução é essa que eu mandei msm

[FelipeMartin]

gabrielmacc, Depois da prostaférese, você vai ficar com algo do tipo [tex3]\cos (x) + 2 \sen (\frac x2-y)\sen(\frac x2) = \frac32[/tex3]

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[tex3]\cos (x) + 2 \sen (\frac x2-y)\sen(\frac x2) = \frac32[/tex3]

queremos então:

[tex3]2 \sen (\frac x2 +y) = (\frac32 - \cos(x))\frac1{\sen(\frac x2)}[/tex3]

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[tex3]2 \sen (\frac x2 +y) = (\frac32 - \cos(x))\frac1{\sen(\frac x2)}[/tex3]

Então

[tex3]-2 \leq (\frac32 - \cos(x))\frac1{\sen(\frac x2)} \le 2[/tex3]

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[tex3]-2 \leq (\frac32 - \cos(x))\frac1{\sen(\frac x2)} \le 2[/tex3]

Para [tex3]x \in [0, 2\pi)[/tex3]

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[tex3]x \in [0, 2\pi)[/tex3]

temos [tex3]\sin(\frac x2) \geq0[/tex3]

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[tex3]\sin(\frac x2) \geq0[/tex3]

Se [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

na equação original temos: [tex3]1 +0 = \frac32[/tex3]

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[tex3]1 +0 = \frac32[/tex3]

o que é mentira. Logo, [tex3]x = 0 +2k\pi[/tex3]

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[tex3]x = 0 +2k\pi[/tex3]

não serve.

[tex3]-2 \sen (\frac x2) \le \frac32 - \cos (x) \le 2 \sen (\frac x2)[/tex3]

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[tex3]-2 \sen (\frac x2) \le \frac32 - \cos (x) \le 2 \sen (\frac x2)[/tex3]

o lado esquerdo é sempre verdade. O lado direito implica que [tex3]x = \frac{\pi}3 + 4\pi n[/tex3]

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[tex3]x = \frac{\pi}3 + 4\pi n[/tex3]

ou [tex3]x = \frac53 \pi + 4\pi n[/tex3]

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[tex3]x = \frac53 \pi + 4\pi n[/tex3]

dai é só substituir na original pra encontrar o [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]