Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **SBAN** » 29 Out 2023, 16:29 · Mensagem não lida por **SBAN** » 29 Out 2023, 16:29

UF Uberlândia-MG) Seja o número complexo[tex3] Z = cos(15º) + i (sen15º)[/tex3] , onde [tex3]I^2=-1[/tex3] . Se W é um outro número complexo tal que [tex3]|w| = |z| = |z – w|[/tex3] , então pode-se afirmar que um valor possível para w nessas condições é:
a) [tex3]w = cos(315º) + i sen(315º)[/tex3]
b)[tex3] w = cos(60º) + i sen(60º)[/tex3]
c) [tex3]w = cos(165º) + i sen(165º)[/tex3]
d) [tex3]w = cos(225º) + i sen(225)[/tex3]

Resposta

A

Estou perdido nessa

Mensagem não lidapor **παθμ** » 29 Out 2023, 16:43 · Mensagem não lida por **παθμ** » 29 Out 2023, 16:43

SBAN, use geometria. Temos [tex3]|z|=1.[/tex3] Como [tex3]|w|=1,[/tex3] [tex3]w[/tex3] também está localizado na circunferência de raio [tex3]1[/tex3] centrada na origem. Ademais, [tex3]|z-w|,[/tex3] que é a distância entre os complexos [tex3]z[/tex3] e [tex3]w,[/tex3] também é igual a 1. Feche o triângulo:

: Screenshot 2023-10-29 164202.png (140.46 KiB) Exibido 211 vezes

O triângulo formado é, então, equilátero (de lado 1). Então todos os seus ângulos internos são [tex3]60\degree.[/tex3] Ou seja, [tex3]\theta+15 \degree = 60 \degree \Longrightarrow \theta = 45 \degree.[/tex3] Então uma opção para [tex3]w[/tex3] é que seu argumento seja [tex3]360 \degree - 45 \degree=315 \degree,[/tex3] daí [tex3]\boxed{w=\cos(315 \degree)+i \sin(315\degree)}[/tex3]

Alternativa A

Mensagem não lidapor **SBAN** » 29 Out 2023, 16:55 · Mensagem não lida por **SBAN** » 29 Out 2023, 16:55

Obg mestre, eu tbm cheguei a conclusão que [tex3]|Z|=1~e ~|W|=1[/tex3] o problema foi justamente no |Z-W| que não conseguir identificar que era a distancia dos complexos

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