UFRJ) Para que a equação 2x^2 + px + q = 0, com p e q reais, admita o número complexo Z= 3 - 2i como raiz, o valor de q deverá ser:
a)10
b)12
c)13
d)26
e)28
Resposta
26
Pré-Vestibular ⇒ Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teste de vestibulares Tópico resolvido
Out 2023
28
19:48
Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teste de vestibulares
Teste de vestibulares questão 8
UFRJ) Para que a equação 2x^2 + px + q = 0, com p e q reais, admita o número complexo Z= 3 - 2i como raiz, o valor de q deverá ser:
a)10
b)12
c)13
d)26
e)28
26
UFRJ) Para que a equação 2x^2 + px + q = 0, com p e q reais, admita o número complexo Z= 3 - 2i como raiz, o valor de q deverá ser:
a)10
b)12
c)13
d)26
e)28
26
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Fibonacci13
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Out 2023
28
20:01
Re: Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teste de vestibulares
SBAN,
Uma das maneiras é colocando o 3-2i no lugar do "x":
[tex3]2x^2 + px + q = 0-->2(3-2i)^2 + p.(3-2i) + q = 0[/tex3]
Agora vamos expandir:
[tex3]2(3-2i)^2 + p.(3-2i) + q = 0-->(3p+q+10)+(-24-2p)i[/tex3]
Agora vamos separar as coisas:
[tex3]I) (3p+q+10) = 0[/tex3]
[tex3]II)(-24-2p)=0[/tex3]
Resolvendo o sistema, temos:
[tex3]p=-12;q=26[/tex3]
Uma das maneiras é colocando o 3-2i no lugar do "x":
[tex3]2x^2 + px + q = 0-->2(3-2i)^2 + p.(3-2i) + q = 0[/tex3]
Agora vamos expandir:
[tex3]2(3-2i)^2 + p.(3-2i) + q = 0-->(3p+q+10)+(-24-2p)i[/tex3]
Agora vamos separar as coisas:
[tex3]I) (3p+q+10) = 0[/tex3]
[tex3]II)(-24-2p)=0[/tex3]
Resolvendo o sistema, temos:
[tex3]p=-12;q=26[/tex3]
Não desista dos seus sonhos, continue dormindo.
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παθμ
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Out 2023
28
20:04
Re: Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teste de vestibulares
SBAN,
O jeito mais rápido de resolver isso é usando o fato de que, para uma equação polinomial com coeficientes reais, se [tex3]z[/tex3] é raíz então seu conjugado [tex3]\bar{z}[/tex3] também é raíz. Ou seja, as raízes são [tex3]3-2i[/tex3] e [tex3]3+2i,[/tex3] e o produto das raízes é [tex3](3-2i)(3+2i)=9+4=13.[/tex3]
Então: [tex3]13=\frac{q}{2} \Longrightarrow \boxed{q=26}[/tex3]
Alternativa D
Mas você também pode resolver usando a equação [tex3]2(3-2i)^2+p(3-2i)+q=0.[/tex3] Se você usar o fato de que p e q são reais, você obtém duas equações (parte real do lado esquerdo da equação igual a zero, e parte imaginária do lado esquerdo da equação igual a zero), e daí você encontra p e q.
O jeito mais rápido de resolver isso é usando o fato de que, para uma equação polinomial com coeficientes reais, se [tex3]z[/tex3] é raíz então seu conjugado [tex3]\bar{z}[/tex3] também é raíz. Ou seja, as raízes são [tex3]3-2i[/tex3] e [tex3]3+2i,[/tex3] e o produto das raízes é [tex3](3-2i)(3+2i)=9+4=13.[/tex3]
Então: [tex3]13=\frac{q}{2} \Longrightarrow \boxed{q=26}[/tex3]
Alternativa D
Mas você também pode resolver usando a equação [tex3]2(3-2i)^2+p(3-2i)+q=0.[/tex3] Se você usar o fato de que p e q são reais, você obtém duas equações (parte real do lado esquerdo da equação igual a zero, e parte imaginária do lado esquerdo da equação igual a zero), e daí você encontra p e q.
Out 2023
28
20:07
Re: Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teste de vestibulares
Perfeito, resolvi desse jeito tbm. criei esse tópico porque vi uma resolução diferente em outros fóruns
Um cara disse que se uma das raízes é [tex3]A+Bi[/tex3] Então por definição o seu conjugado também [tex3]A-Bi[/tex3] é raiz do polinômio. so que no livro que eu estou lendo não tem essa teoria em lugar nenhum ai fiquei na dívida se era verdade ou não
Sabe me dizer se isso é verdade ?
Um cara disse que se uma das raízes é [tex3]A+Bi[/tex3] Então por definição o seu conjugado também [tex3]A-Bi[/tex3] é raiz do polinômio. so que no livro que eu estou lendo não tem essa teoria em lugar nenhum ai fiquei na dívida se era verdade ou não
Sabe me dizer se isso é verdade ?
Out 2023
28
20:08
Re: Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teste de vestibulares
Cara é uma maquina Antes de eu fazer a pergunta ele ja responde kkkkkkkπαθμ escreveu: ↑28 Out 2023, 20:04 SBAN,
O jeito mais rápido de resolver isso é usando o fato de que, para uma equação polinomial com coeficientes reais, se [tex3]z[/tex3] é raíz então seu conjugado [tex3]\bar{z}[/tex3] também é raíz. Ou seja, as raízes são [tex3]3-2i[/tex3] e [tex3]3+2i,[/tex3] e o produto das raízes é [tex3](3-2i)(3+2i)=9+4=13.[/tex3]
Então: [tex3]13=\frac{q}{2} \Longrightarrow \boxed{q=26}[/tex3]
Alternativa D
Mas você também pode resolver usando a equação [tex3]2(3-2i)^2+p(3-2i)+q=0.[/tex3] Se você usar o fato de que p e q são reais, você obtém duas equações (parte real do lado esquerdo da equação igual a zero, e parte imaginária do lado esquerdo da equação igual a zero), e daí você encontra p e q.
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παθμ
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Out 2023
28
20:14
Re: Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Teste de vestibulares
Sim, é verdade. Esse é o "teorema fundamental da álgebra".SBAN escreveu: ↑28 Out 2023, 20:07 Perfeito, resolvi desse jeito tbm. criei esse tópico porque vi uma resolução diferente em outros fóruns
Um cara disse que se uma das raízes é A+Bi
é raiz do polinômio. so que no livro que eu estou lendo não tem essa teoria em lugar nenhum ai fiquei na dívida se era verdade ou não
Sabe me dizer se isso é verdade ?
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