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Mensagem não lidapor **Babi123** » 26 Mai 2023, 07:20 · Mensagem não lida por **Babi123** » 26 Mai 2023, 07:20

Utilizando o princípio da boa ordenação, mostre que, se [tex3]p[/tex3] [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{N}[/tex3] não é um quadrado perfeito, então [tex3]\sqrt{p}[/tex3] é irracional.

Se [tex3]p \neq n^2[/tex3] para nenhum [tex3]n \in \mathbb N[/tex3] , suponha que [tex3]\sqrt{p} = \frac {a}b[/tex3] com [tex3]\mdc (a,b) = 1[/tex3]

então, o conjunto [tex3]S = \{ k\sqrt{p}: k \text { e } k\sqrt{p} \text{são ambos naturais simultaneamente}\}[/tex3] é um conjunto não vazio de números naturais. Logo, possui um elemento mínimo [tex3]s = t \sqrt{p}[/tex3] , logo, [tex3]s\sqrt{p} - s = (s-t)\sqrt{p}[/tex3]

como [tex3]s[/tex3] é mínimo, então, [tex3]s-t \notin S[/tex3] e, como [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] são inteiros, e [tex3]s-t \in \mathbb N[/tex3] (pois [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] são naturais cuja diferença é [tex3](\sqrt{p}-1)t >0[/tex3] ), temos que [tex3](s-t) \sqrt{p} \notin \mathbb N[/tex3] o que contraria o fato de [tex3]S[/tex3] ser não-vazio

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Irracionalidade

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