Pré-Vestibular ⇒ UDESC - Geometria Espacial / plana Tópico resolvido

[Gabrielamed]

Um dos vértices do triângulo ABC exibido na figura abaixo coincide com o centro de duas circunferências concêntricas que possuem raios iguais a 4 cm e 14 cm, respectivamente. Unindo os pontos de interseção do triângulo ABC com estas circunferências, obtém-se o trapézio BCDE, cuja altura é igual a 8 centímetros. A reta r é a mediatriz das bases BC e DE desse trapézio.

udesc.jpeg (10.88 KiB) Exibido 259 vezes

Se o trapézio BCDE for rotacionado em torno da reta r, então a figura resultante terá volume igual a:

Resposta

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[tex3]\frac{6432\pi }{25}cm^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{6432\pi }{25}cm^{3}[/tex3]

[petras]

Gabrielamed,
Terremos formado um tronco de cone

[tex3]V_{tronco} = \frac{\pi h}{3}(R^2+rR+r^2)\\
\frac{AC}{AD} = \frac{8+x}{x} \implies \frac{14}{4} = \frac{8+x}{x} \therefore x = \frac{16}{5}\\
r^2+x^2 = AD^2 \implies r^2 = 4^2 - (\frac{16}{5})^2 \therefore r = \frac{12}{5}\\
\frac{AC}{AD} = \frac{R}{r} \implies \frac{14}{4} = \frac{R}{\frac{12}{5}} \therefore R = \frac{42}{5}\\
V_t = \frac{\pi . 8}{3}((\frac{42}{5})^2+\frac{42}{5}.\frac{12}{5}+(\frac{12}{5})^2) \therefore \boxed{V_t = \frac{6432 \pi}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_{tronco} = \frac{\pi h}{3}(R^2+rR+r^2)\\
\frac{AC}{AD} = \frac{8+x}{x} \implies \frac{14}{4} = \frac{8+x}{x} \therefore x = \frac{16}{5}\\
r^2+x^2 = AD^2 \implies r^2 = 4^2 - (\frac{16}{5})^2 \therefore r = \frac{12}{5}\\
\frac{AC}{AD} = \frac{R}{r} \implies \frac{14}{4} = \frac{R}{\frac{12}{5}} \therefore R = \frac{42}{5}\\
V_t = \frac{\pi . 8}{3}((\frac{42}{5})^2+\frac{42}{5}.\frac{12}{5}+(\frac{12}{5})^2) \therefore \boxed{V_t = \frac{6432 \pi}{3}}[/tex3]