Observe
NoAnalise escreveu: ↑11 Set 2022, 19:09
Estou com uma extrema dificuldade de resolver este exercício. Gostaria muito de ajuda, pois não sei mais como resolver este caso.
1) Ache, caso seja possível, os pontos de máximo e/ou mínimo de [tex3]f(x,y)= x²-x+2y²[/tex3]
sujeito à restrição [tex3]x²+y²=1[/tex3]
Tentei fazer muitas contas,porém nada dá alguma coisa que pareça real
Gabarito :
Solução (
Método dos Multiplicadores de Lagrange ):
Precisamos resolver as equações:
{ ∇f = λ∇g
{ g( x , y ) = 1
{ ∇f = λ∇g
{ x² + y² = 1
Então,
∇f = ( 2x - 1 , 4y ) e ∇g( x , y ) = ( 2x , 2y ).
Obs.1
f( x , y ) = x² - x + 2y² , g( x , y ) = x² + y² = 1 , ∂f/∂x = λ∂g/∂x e ∂f/∂y = λ∂g/∂y.
Assim , obtém-se o seguinte sistema
{ 2x - 1 = λ.2x ( I )
{ 4y = λ.2y ( I I )
{ x² + y² = 1 ( I I I )
Obs.2 Não há regras gerais de como resolver esse sistema de equações. Algumas vezes precisamos
de certa engenhosidade.
De ( I I ) temos y = 0 ou λ = 2. Se y = 0 , então ( I I I ) leva a x = ± 1. Se λ = 2 , então x = - 1/2 de ( I ) , e assim ( I I I ) dá y = ± √( 3/4 ) . Dessa forma , os valores extremos possíveis de f são os pontos ( ± 1 , 0 ) e ( - 1/2 , ± √(3/4) ). Basta agora, você calcular f nesses quatro pontos e consequentemente você verás quem são os pontos de máximos ( valor máximo de f ) e os pontos de mínimos locais ( valor mínimo de f ). Pronto! Agora é com você
Excelente estudo!
