Dentre as alternativas a seguir, qual apresenta o valor da integral de linha
[tex3]\rightarrow [/tex3]
∫c F . dr
do campo vetorial
[tex3]\rightarrow [/tex3]
F =(2xz + y^2) i + 2xy j + (x^2 = 3z^2) k
ao longo da curva
c: x=t^2 ; y=t-1; z=2t, com 0≤t ≤1
a. 8
b.20
c.10
d.12
e.16
Ensino Superior ⇒ Integral Linha Vetorial Longo da Curva Tópico resolvido
-
Cardoso1979
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Ago 2022
31
21:12
Re: Integral Linha Vetorial Longo da Curva
Observe
Eba!!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com alternativas
Uma solução:
Podemos escrever a integral
[tex3]\int\limits_{C}^{}\vec{F}.d\vec{r} = \int\limits_
{0}^{1} \vec{F}(C(t)).C'(t) \ dt [/tex3]
Mas,
[tex3]\vec{F}[/tex3] ( C( t ) ) = [ 2.t².2t + ( t - 1 )^2.][tex3]\vec{i}[/tex3] + 2t².( t - 1 ).[tex3]\vec{j}[/tex3] + [ ( t² )^2 + 3.( 2t )^2 ].[tex3]\vec{k}[/tex3]
[tex3]\vec{F}[/tex3] ( C( t ) ) = ( 4t³ + t² - 2t + 1 ).[tex3]\vec{i}[/tex3] + ( 2t³ - 2t² ).[tex3]\vec{j}[/tex3] + ( t⁴ + 12t² ).[tex3]\vec{k}[/tex3]
e
C'( t ) = 2t.[tex3]\vec{i}[/tex3] + 1.[tex3]\vec{j}[/tex3] + 2.[tex3]\vec{k}[/tex3]
Então,
[tex3]\int\limits_{0}^{1}< 4t^3 + t^2 - 2t + 1 \ , \ 2t^3 - 2t^2 \ , \ t^4 + 12t^2 >.< 2t \ , \ 1 \ , \ 2 > \ dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}[ ( 4t^3 + t^2 - 2t + 1).(2t) + ( 2t^3 - 2t^2 ).(1) + ( t^4 + 12t^2 ).( 2 ) ] \ dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}[ 8t^4 + 2t^3 - 4t^2 + 2t + 2t^3 - 2t^2 + 2t^4 + 24t^2 ] \ dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}[ 10t^4 + 4t^3 + 18t^2 + 2t ] \ dt = [/tex3]
[tex3][ \frac{10t^5}{5} + \frac{4t^4}{4} + \frac{18t^3}{3} + \frac{2t^2}{2} ]_{0}^{1} = [/tex3]
[tex3][ 2t^5 + t^4 + 6t^3 + t^2 ]_{0}^{1} = [/tex3]
2.( 1⁵ - 0⁵ ) + ( 1⁴ - 0⁴ ) + 6.( 1³ - 0³ ) + ( 1² - 0² ) = 2 + 1 + 6 + 1 = 10 , alternativa c.
Excelente estudo!
Eba!!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com alternativas
Uma solução:
Podemos escrever a integral
[tex3]\int\limits_{C}^{}\vec{F}.d\vec{r} = \int\limits_
{0}^{1} \vec{F}(C(t)).C'(t) \ dt [/tex3]
Mas,
[tex3]\vec{F}[/tex3] ( C( t ) ) = [ 2.t².2t + ( t - 1 )^2.][tex3]\vec{i}[/tex3] + 2t².( t - 1 ).[tex3]\vec{j}[/tex3] + [ ( t² )^2 + 3.( 2t )^2 ].[tex3]\vec{k}[/tex3]
[tex3]\vec{F}[/tex3] ( C( t ) ) = ( 4t³ + t² - 2t + 1 ).[tex3]\vec{i}[/tex3] + ( 2t³ - 2t² ).[tex3]\vec{j}[/tex3] + ( t⁴ + 12t² ).[tex3]\vec{k}[/tex3]
e
C'( t ) = 2t.[tex3]\vec{i}[/tex3] + 1.[tex3]\vec{j}[/tex3] + 2.[tex3]\vec{k}[/tex3]
Então,
[tex3]\int\limits_{0}^{1}< 4t^3 + t^2 - 2t + 1 \ , \ 2t^3 - 2t^2 \ , \ t^4 + 12t^2 >.< 2t \ , \ 1 \ , \ 2 > \ dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}[ ( 4t^3 + t^2 - 2t + 1).(2t) + ( 2t^3 - 2t^2 ).(1) + ( t^4 + 12t^2 ).( 2 ) ] \ dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}[ 8t^4 + 2t^3 - 4t^2 + 2t + 2t^3 - 2t^2 + 2t^4 + 24t^2 ] \ dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{1}[ 10t^4 + 4t^3 + 18t^2 + 2t ] \ dt = [/tex3]
[tex3][ \frac{10t^5}{5} + \frac{4t^4}{4} + \frac{18t^3}{3} + \frac{2t^2}{2} ]_{0}^{1} = [/tex3]
[tex3][ 2t^5 + t^4 + 6t^3 + t^2 ]_{0}^{1} = [/tex3]
2.( 1⁵ - 0⁵ ) + ( 1⁴ - 0⁴ ) + 6.( 1³ - 0³ ) + ( 1² - 0² ) = 2 + 1 + 6 + 1 = 10 , alternativa c.
Excelente estudo!
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