Ensino Médio ⇒ SIMULADO SAS 2022 Tópico resolvido

[matdamasceno]

Em certo modelo de financiamento, o valor mensal de
cada parcela aumenta a uma taxa fixa de 8% ao mês,
ou seja, o valor da segunda parcela é 8% maior que o
da primeira; o valor da terceira parcela é 8% maior que
o valor da segunda, e assim por diante, até a última
parcela. Para evitar inadimplências, decidiu-se que um
financiamento nesse modelo deve ser realizado de modo
que o valor da última parcela a ser paga não ultrapasse
o dobro do valor da parcela inicial.
Utilize 0,30 como aproximação para log 2 e 0,03
como aproximação para log 1,08.
Nessas condições, o número máximo de parcelas em um
financiamento nesse modelo é
a)10
b)11
c)12
d)13
e)14

Resposta

---

b

[joaopcarv]

Seja [tex3]\mathsf{P_i}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{P_i}[/tex3]

o preço da parcela inicial. A partir de cada mês, a parcela atual cresce [tex3]\mathsf{8\%}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{8\%}[/tex3]

em relação à parcela imediatamente antes, de modo que, para [tex3]\mathsf{n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n}[/tex3]

parcelas ao total, temos um modelo de progressão da seguinte forma:

[tex3]\mathsf{\underbrace{\overbrace{P_i}^{inicial}, \ \ \overbrace{P_i \cdot (1,08)}^{segunda}, \ \ \overbrace{P_i \cdot (1,08)^{^2}}^{terceira} \ , \ ..., \ \overbrace{P_i \cdot (1,08)^{^{(n \ - \ 1)}}}^{n-ésima}}_{n \ parcelas}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\underbrace{\overbrace{P_i}^{inicial}, \ \ \overbrace{P_i \cdot (1,08)}^{segunda}, \ \ \overbrace{P_i \cdot (1,08)^{^2}}^{terceira} \ , \ ..., \ \overbrace{P_i \cdot (1,08)^{^{(n \ - \ 1)}}}^{n-ésima}}_{n \ parcelas}}[/tex3]

Perceba que a aplicação do rendimento começa a partir do segundo mês, e, por isso, a última parcela (após [tex3]\mathsf{n}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n}[/tex3]

meses), terá rendido [tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(n \ - \ 1)}[/tex3]

vezes.

Condição do enunciado: o valor da última (n-ésima) parcela a ser paga não ultrapassar o dobro do valor da parcela inicial:

[tex3]\mathsf{\cancel{P_I} \cdot (1,08)^{(n \ - \ 1)} \ \leq \ 2 \cdot \ \cancel{P_I}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\cancel{P_I} \cdot (1,08)^{(n \ - \ 1)} \ \leq \ 2 \cdot \ \cancel{P_I}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{1,08^{(n \ - \ 1)} \ \leq \ 2 \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{1,08^{(n \ - \ 1)} \ \leq \ 2 \ \rightarrow}[/tex3]

Aplicando logaritmo:

[tex3]\mathsf{\log\Big(1,08^{(n \ - \ 1)}\Big) \ \leq \ \log(2)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\log\Big(1,08^{(n \ - \ 1)}\Big) \ \leq \ \log(2)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(n \ - \ 1) \cdot \log(1,08) \ \leq \ \log(2)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(n \ - \ 1) \cdot \log(1,08) \ \leq \ \log(2)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{n \ - \ 1 \ \ \leq\ \dfrac{\cancelto{0,3}{\log(2)}}{\cancelto{0,03}{\log(1,08)}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n \ - \ 1 \ \ \leq\ \dfrac{\cancelto{0,3}{\log(2)}}{\cancelto{0,03}{\log(1,08)}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{n \ - \ 1 \ \leq \ 10}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n \ - \ 1 \ \leq \ 10}[/tex3]

[tex3]\mathsf{n \ \leq \ 11 \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n \ \leq \ 11 \ \rightarrow}[/tex3]

E sendo [tex3]\mathsf{n \ \in \ \mathbb{N^{^*}_+}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n \ \in \ \mathbb{N^{^*}_+}}[/tex3]

, o maior número de parcelas é justamente [tex3]\mathsf{n \ = \ 11.}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n \ = \ 11.}[/tex3]

[matdamasceno]

não entendi por que 11 parcelas sendo que 1,08^10 resulta em 2,1, sendo maior que o dobro da primeira parcela

[joaopcarv]

matdamasceno, ótima observação... pelo o que pude calcular, isso acontece pela seguinte razão: a aproximação com poucas casas decimais dos valores dos logaritmos .

Pelos dados fornecidos, [tex3]\mathsf{\log(2) \ \approx \ 0,3}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\log(2) \ \approx \ 0,3}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{\log(1,08) \ \approx \ 0,03}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\log(1,08) \ \approx \ 0,03}[/tex3]

, mas com melhor precisão:

[tex3]\mathsf{\log(2) \ \approx \ 0,30102999...}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\log(2) \ \approx \ 0,30102999...}[/tex3]

e [tex3]\mathsf{\log(1,08) \ \approx \ 0,033423755...}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\log(1,08) \ \approx \ 0,033423755...}[/tex3]

, de forma que:

[tex3]\mathsf{\dfrac{\overbrace{\log(2)}^{0,30102999...}}{\underbrace{\log(1,08)}_{0,033423755...}} \ \approx \ 9,00646830}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{\overbrace{\log(2)}^{0,30102999...}}{\underbrace{\log(1,08)}_{0,033423755...}} \ \approx \ 9,00646830}[/tex3]

Ou seja, há um erro crucial com a aproximação de poucas casas decimais fornecida pelo enunciado.

Em outras palavras, o enunciado está informando para se assumir que [tex3]\mathsf{10^{0,03} \ "=" \ 1,08}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{10^{0,03} \ "=" \ 1,08}[/tex3]

, quando, na verdade, [tex3]\mathsf{10^{0,03} \ = \ 1,07151930....}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{10^{0,03} \ = \ 1,07151930....}[/tex3]

Se considerarmos a aproximação mais precisa, então a fração é [tex3]\mathsf{\approx \ 9}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\approx \ 9}[/tex3]

, e, portanto, [tex3]\mathsf{n \approx \ 10}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{n \approx \ 10}[/tex3]

.

De fato, os dados não foram bem fornecidos.

[matdamasceno]

muito obrigado por responder!!!