IME / ITA ⇒ (CMPA)Pentágono Tópico resolvido

[botelho]

Considere o pentágono regular convexo culo lado mede 2008m. Determinando em metros, o comprimento de uma de suas diagonais, obtém-se1+[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

multiplicado por:
a)2008
b)2006
c)2004
d)1003
e)1004

Resposta

---

e

[castelohsi]

Saudações.

Essa relação entre diagonal e lado do pentágono é um pouco famosa:

[tex3]d=\frac{l}{2}.(1+\sqrt{5})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d=\frac{l}{2}.(1+\sqrt{5})[/tex3]

Onde d é a diagonal e l é o lado do pentágono.
Você pode encontrar a demonstração aqui: viewtopic.php?t=50852

Então, ter-se-á:

[tex3]d=\frac{2008}{2}(1+\sqrt{5})\rightarrow \boxed{d=1004(1+\sqrt{5})}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d=\frac{2008}{2}(1+\sqrt{5})\rightarrow \boxed{d=1004(1+\sqrt{5})}[/tex3]

[petras]

botelho,
L = lado pentágono
D = diagonal do pentágono
[tex3]\mathtt{T.Ptolomeu: ABED\\
AD.BE = AE.BD+AB.ED\implies D^2 =DL+L^2 \therefore \underline{D^2-DL-L^2=0} \\
\therefore D =\frac{L+\sqrt{L^2+4L^2}}{2}=\frac{L+L\sqrt{5}}{2} =\frac{L(1+\sqrt5)}{2}=\frac{2008}{2}(1+\sqrt5) \\
\therefore \boxed{D = 1004(1+\sqrt5)}\color{green}\checkmark}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{T.Ptolomeu: ABED\\
AD.BE = AE.BD+AB.ED\implies D^2 =DL+L^2 \therefore \underline{D^2-DL-L^2=0} \\
\therefore D =\frac{L+\sqrt{L^2+4L^2}}{2}=\frac{L+L\sqrt{5}}{2} =\frac{L(1+\sqrt5)}{2}=\frac{2008}{2}(1+\sqrt5) \\
\therefore \boxed{D = 1004(1+\sqrt5)}\color{green}\checkmark}[/tex3]