Olimpíadas ⇒ (Báltica-98) Tópico resolvido

[geobson]

Em um triângulo ABC, BÂC=90º. O ponto D pertence ao lado BC e satisfaz a relação B^DA=2BÂD.Demontre que ;

1/AD=1/2( (1/BD) + (1/CD) )

[Xablauu]

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Lei dos Senos no triângulo ABD:

[tex3]\frac{AD}{sen(180°-3\alpha)}=\frac{AD}{sen3\alpha}=\frac{BD}{sen\alpha}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AD}{sen(180°-3\alpha)}=\frac{AD}{sen3\alpha}=\frac{BD}{sen\alpha}[/tex3]

Lei dos Senos no triângulo ACD:

[tex3]\frac{AD}{-cos3\alpha}=\frac{CD}{cos\alpha}[/tex3]

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[tex3]\frac{AD}{-cos3\alpha}=\frac{CD}{cos\alpha}[/tex3]

Assim, temos que:

[tex3]\frac{AD}{BD}=\frac{sen3\alpha}{sen\alpha}[/tex3]

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[tex3]\frac{AD}{BD}=\frac{sen3\alpha}{sen\alpha}[/tex3]

[tex3]\frac{AD}{CD}=-\frac{cos3\alpha}{cos\alpha}[/tex3]

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[tex3]\frac{AD}{CD}=-\frac{cos3\alpha}{cos\alpha}[/tex3]

Perceba que [tex3]\frac{AD}{BD}+\frac{AD}{CD} = \frac{sen3\alpha}{sen\alpha}-\frac{cos3\alpha}{cos\alpha}=\frac{sen2\alpha}{sen\alpha.cos\alpha}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AD}{BD}+\frac{AD}{CD} = \frac{sen3\alpha}{sen\alpha}-\frac{cos3\alpha}{cos\alpha}=\frac{sen2\alpha}{sen\alpha.cos\alpha}=2[/tex3]

Passando o AD para o lado e o 2 para o outro, chegamos no enunciado.

[geobson]

Xablauu, obrigado.