Prove que, ao expressarmos a soma
[tex3]1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over4}+...+{1\over109}+{1\over110}[/tex3]
como uma fração irredutível, o numerador e um múltiplo de 11.
Olimpíadas ⇒ (Cone Sul) Teoria dos números Tópico resolvido
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Dez 2020
24
00:09
Re: (Cone Sul) Teoria dos números
Seja [tex3]S_2 = \frac{1}{111}+\frac{1}{112}+\frac{1}{113}+\frac{1}{114}+....+\frac{1}{120} [/tex3]
Somando os extremos:
[tex3]S_2 = (\frac{1}{111}+\frac{1}{120})+(\frac{1}{112}+\frac{1}{119})+....+(\frac{1}{115}+\frac{1}{116}) [/tex3]
[tex3]S_2 = \frac{231}{111\cdot 120}+\frac{231}{112 \cdot 119}+....+\frac{231}{115 \cdot 116} [/tex3]
[tex3]S_2 = 11\cdot (\frac{21}{111\cdot 120}+\frac{21}{112 \cdot 119}+....+\frac{21}{115 \cdot 116}) [/tex3]
[tex3]S_2 = \frac{11p}{q} [/tex3]
Como entre 111 e 120 não existe múltiplo de 11, então q não é múltiplo de 11.
Seja [tex3]S_1 = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+....+\frac{1}{110} [/tex3]
Então:
[tex3]S_1+S_2 = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+....+\frac{1}{110}+....+\frac{1}{120} [/tex3]
Somando os extremos:
[tex3]S_1+S_2 = (1+\frac{1}{120})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{119})+....+(\frac{1}{60}+\frac{1}{61}) [/tex3]
[tex3]S_1+S_2 = (\frac{121}{120})+(\frac{121}{2\cdot 119})+....+(\frac{121}{60\cdot 61}) [/tex3]
[tex3]S_1+S_2 = \frac{11^2a}{b} [/tex3]
Entre 1 e 120 não existe múltiplo de [tex3]11^{2}[/tex3] , apenas existe múltiplo de 11, então [tex3]b = 11c [/tex3]
[tex3]S_1+S_2 = \frac{11^2a}{b} = \frac{11a}{c}[/tex3]
Assim:
[tex3]S_1 = \frac{11a}{c} - \frac{11p}{q} [/tex3]
[tex3]S_1 = \frac{11\cdot (aq - pc)}{cq} [/tex3]
Como nem c nem q são múltiplos de 11, o númerador de [tex3]S_1 [/tex3] é múltiplo de 11
Somando os extremos:
[tex3]S_2 = (\frac{1}{111}+\frac{1}{120})+(\frac{1}{112}+\frac{1}{119})+....+(\frac{1}{115}+\frac{1}{116}) [/tex3]
[tex3]S_2 = \frac{231}{111\cdot 120}+\frac{231}{112 \cdot 119}+....+\frac{231}{115 \cdot 116} [/tex3]
[tex3]S_2 = 11\cdot (\frac{21}{111\cdot 120}+\frac{21}{112 \cdot 119}+....+\frac{21}{115 \cdot 116}) [/tex3]
[tex3]S_2 = \frac{11p}{q} [/tex3]
Como entre 111 e 120 não existe múltiplo de 11, então q não é múltiplo de 11.
Seja [tex3]S_1 = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+....+\frac{1}{110} [/tex3]
Então:
[tex3]S_1+S_2 = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+....+\frac{1}{110}+....+\frac{1}{120} [/tex3]
Somando os extremos:
[tex3]S_1+S_2 = (1+\frac{1}{120})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{119})+....+(\frac{1}{60}+\frac{1}{61}) [/tex3]
[tex3]S_1+S_2 = (\frac{121}{120})+(\frac{121}{2\cdot 119})+....+(\frac{121}{60\cdot 61}) [/tex3]
[tex3]S_1+S_2 = \frac{11^2a}{b} [/tex3]
Entre 1 e 120 não existe múltiplo de [tex3]11^{2}[/tex3] , apenas existe múltiplo de 11, então [tex3]b = 11c [/tex3]
[tex3]S_1+S_2 = \frac{11^2a}{b} = \frac{11a}{c}[/tex3]
Assim:
[tex3]S_1 = \frac{11a}{c} - \frac{11p}{q} [/tex3]
[tex3]S_1 = \frac{11\cdot (aq - pc)}{cq} [/tex3]
Como nem c nem q são múltiplos de 11, o númerador de [tex3]S_1 [/tex3] é múltiplo de 11
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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