Olimpíadas ⇒ POTI - Teoremas de Euler, Fermat e Wilson e primos
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goncalves3718
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Out 2020
04
10:46
POTI - Teoremas de Euler, Fermat e Wilson e primos
Seja [tex3]p[/tex3]
um número primo. Demonstre que [tex3](p − 1)! + 1[/tex3]
é uma potência de [tex3]p[/tex3]
se, e somente se, [tex3]p = 2, 3 ou 5[/tex3]
.
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Ittalo25
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Out 2020
19
00:30
Re: POTI - Teoremas de Euler, Fermat e Wilson e primos
Seja p>5, então:
[tex3](p − 1)! = p^x-1 = (p-1) \cdot (p^{x-1}+p^{x-2}+p^{x-3}+p^{x-4}+....+p+1)[/tex3]
[tex3](p − 2)!= p^{x-1}+p^{x-2}+p^{x-3}+p^{x-4}+....+p+1[/tex3]
Mas como p>5, p-1>4 é composto, então pelo teorema de Wilson estendido: [tex3](p-2)! \equiv 0 \mod(p-1) [/tex3]
E claro: [tex3]p^{x-1}+p^{x-2}+p^{x-3}+p^{x-4}+....+p+1 \equiv x \cdot 1 \equiv x \mod(p-1)[/tex3]
Então precisamos de [tex3]x \equiv 0 \mod(p-1) [/tex3]
Problema é que: [tex3]p^x = (p-1)!+1 < p^{p-1} [/tex3] , ou seja, [tex3]x<p-1 [/tex3] e não teria como [tex3]x \equiv 0 \mod(p-1) [/tex3]
[tex3](p − 1)! = p^x-1 = (p-1) \cdot (p^{x-1}+p^{x-2}+p^{x-3}+p^{x-4}+....+p+1)[/tex3]
[tex3](p − 2)!= p^{x-1}+p^{x-2}+p^{x-3}+p^{x-4}+....+p+1[/tex3]
Mas como p>5, p-1>4 é composto, então pelo teorema de Wilson estendido: [tex3](p-2)! \equiv 0 \mod(p-1) [/tex3]
E claro: [tex3]p^{x-1}+p^{x-2}+p^{x-3}+p^{x-4}+....+p+1 \equiv x \cdot 1 \equiv x \mod(p-1)[/tex3]
Então precisamos de [tex3]x \equiv 0 \mod(p-1) [/tex3]
Problema é que: [tex3]p^x = (p-1)!+1 < p^{p-1} [/tex3] , ou seja, [tex3]x<p-1 [/tex3] e não teria como [tex3]x \equiv 0 \mod(p-1) [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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