Ensino Médio

Prove que não existem inteiros positivos [tex3]x_1,x_2,...,x_{14}[/tex3] tais que:

[tex3]x_1^{4}+x_2^{4}+...+x_{14}^{4}=1599[/tex3] .

tem a solução no material, vou dar uma detalhada nela
vamos ver o que acontece com [tex3]n^4(\mod16)[/tex3]
se [tex3]n = 2k[/tex3] vamoos ter [tex3]n^4=2^4k^k=16k^4[/tex3] que é divisível por 16
caso [tex3]n = 2k+1[/tex3] teremos [tex3]n^4=1+8k + 24k^2 + 32k^3 + 16k^4[/tex3]

Resposta

que podemos escrever como [tex3]n^4=1+8(k+k^2)+(24-8)k^2+32k^3+16k^4[/tex3]
[tex3]n^4 = 8(k+k^2)+16k^2+16k^2(k^2+2k)+1[/tex3]
[tex3]n^4=8(k+k^2)+16k^2(k^2+2k+1)+1[/tex3]
[tex3]n^4=8(k+k^2)+16k^2(k+1)^2+1=8k(k+1)+16k^2(k+1)^2+1[/tex3]
[tex3]16k^2(k+1)^2[/tex3] é sempre divisível por 16
[tex3]8k(k+1)[/tex3] também é porque se k for par (k=2x)
[tex3]8\cdot2x(2x+1) = 16x(2x+1)[/tex3] que podemos ver que é divisível por 16
agora caso k seja impar
[tex3]8(2x+1)(2x+1+1)=8(2x+1)(2[x+1])=16(2x+1)(x+1)[/tex3]
mas então
[tex3]8k(k+1)+16k^2(k+1)^2\equiv0(\mod16)[/tex3]

[tex3]8k(k+1)+16k^2(k+1)^2+1\equiv1(\mod16)[/tex3]
conclusão: se o número for par esse número elevado a quarta potencia deixa resto 0 na divisão por 16
se o número for ímpar o mesmo elevado a quarta potencia deixa resto 1 na divisão por 16
mas [tex3]1599\equiv15(\mod 16)[/tex3]
[tex3]x_n^4\equiv y_n(\mod16)[/tex3] onde [tex3]y_n[/tex3] ou é 1 ou é 0 pelo que vimos acima
[tex3]x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4\equiv y_1+y_2+...+y_{14}\equiv15(\mod16)[/tex3]
o número de restos iguais a 1 é no máximo 14 mas é impossível somar o número 1 quatorze vezes e obter o número 15
(espero que n tenha complicado mais tentando explicar tudo)

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 16 Out 2020, 13:40 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 16 Out 2020, 13:40

Problema da Índia para vocês brincarem:
Prove que não existem inteiros positivos [tex3]x_1,x_2,...,x_{8}[/tex3] tais que:

[tex3]x_1^{4}+x_2^{4}+...+x_{8}^{4}=1993[/tex3]

interessante, esses dois problemas são resolvidos com a mesma ideia
em um lado ao pegarmos o resto da divisão por um certo número tem um resto máximo e do outro lado tem um resto maior ainda na divisão
pelo que já foi provado ao pegarmos o resto de um número elevado a quarta potencia ou o resto é 1 ou 0 na divisão por 16
então [tex3]x_1^4+x_2^4+...+x_8^4=16q+r[/tex3] onde [tex3]0\leq r\leq8[/tex3]
r = 8 acontece quando todos são ímpares, enquanto 1993 deixa resto 9 na divisão oq é impossível ja que como é uma igualdade os restos deveriam ser iguais

Ai sim! Gostei e consegui entender!! Vocês conhecem mais algum desse tipo?

eu n conheço mais nenhum que seja assim

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 16 Out 2020, 16:25 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 16 Out 2020, 16:25

(Romênia) - Considere os números primos: [tex3]n_1<n_2 <n_3<n_4<....<n_{31} [/tex3] . Prove que se 30 divide [tex3]n_1^4+n_2^4+n_3^4+n_4^4+....+n_{31}^4[/tex3] , então nessa sequência existem 3 primos consecutivos.
Exemplos de 3 primos consecutivos: (19,23,29), (11,13,17)

[tex3]30=2\cdot5\cdot3[/tex3]
como [tex3]n_1 < n_2[/tex3] então [tex3]n_2[/tex3] não pode ser 2 porque se não teríamos um primo menor que 2 oq não é verdade, como todos os primos maiores que 2 são ímpares
[tex3]n_k=2a_k+1[/tex3] onde [tex3]a_k[/tex3] é um inteiro e [tex3]k\in\{2, 3, 4, ..., 31\}[/tex3]
como [tex3]30| Soma[/tex3] logo 2 divide a soma
então [tex3]2|n_1^4+(2a_2+1)^4+...+(2a_{31}+1)^4[/tex3]
todos esses números impares ao serem elevados a quarta potencia vão deixar resto 1 na divisão por 2

Resposta

[tex3]2a_k+1\equiv1(\mod2)[/tex3]
[tex3](2a_k+1)^4\equiv1^4\equiv1(\mod2)[/tex3]

então [tex3]2|n_1^4+1+1+1+...+1[/tex3] onde o número 1 aparece 30 vezes
[tex3]2|n_1^4+30\implies2|n_1^4[/tex3] mas como 2 é primo e divide um produto 2 deve dividir pelo menos um dos fatores mas como todos os fatores são iguais [tex3]2|n_1[/tex3] porém como [tex3]n_1[/tex3] é primo e 2 divide [tex3]n_1[/tex3] então [tex3]n_1 = 2[/tex3]
[tex3]3|2^4+n_2^4+n_3^4+...+n_{31}^4[/tex3]
vamos ver o que acontece como [tex3]x_k^4[/tex3] modulo 3

Resposta

[tex3]b\equiv0(\mod3)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv0(\mod3)[/tex3]

[tex3]b\equiv1(\mod3)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv1^4\equiv1(\mod3)[/tex3]

[tex3]b\equiv2(\mod3)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv2^4=16\equiv1(\mod3)[/tex3]

ok, então vamos ter o seguinte: pelo menos do [tex3]n_3[/tex3] (inclusive e em diante) não deixa resto 0 quanto ao [tex3]n_2[/tex3] ainda n sei nada
[tex3]3|16+n_2^4+1+1+...+1[/tex3] onde o número 1 aparece 29 vezes vou substituir o 16 pelo resto que ele deixa na divisão por 3 e somar aquele monte de números 1's
[tex3]3|n_2^4+30\implies3|n_2^4[/tex3] então [tex3]n_2 = 3[/tex3]
[tex3]5|2^4+3^4+n_3^4+n_4^4+...+n_{31}^4\implies 5|2 + n_3^4+n_4^4+...+n_{31}^4[/tex3]
vamos ver o que acontece com um número elevado a quarta modulo 5

Resposta

[tex3]b\equiv0(\mod5)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv0(\mod5)[/tex3]

[tex3]b\equiv1(\mod5)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv1(\mod5)[/tex3]

[tex3]b\equiv2(\mod5)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv1(\mod5)[/tex3]

[tex3]b\equiv3(\mod5)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv1(\mod5)[/tex3]

[tex3]b\equiv4(\mod5)[/tex3]
[tex3]b^4\equiv1(\mod5)[/tex3]

[tex3]5|2+n_3^4+1+1+...+1[/tex3] onde o número 1 aparece 28 vezes
[tex3]5|30+n_3^4\implies5|n_3^4[/tex3] logo [tex3]n_3 = 5[/tex3]
e temos os número primos consecutivos 2, 3 e 5

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