IME / ITA ⇒ (IME 1966/1967) Complexos

[Karma]

Seja [tex3]A_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_n[/tex3]

a área da superfície do polígono plano [tex3]P_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_n[/tex3]

cujos vértices são as raízes da equação [tex3]\sqrt{7} +3i -x^{2n} = 0,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{7} +3i -x^{2n} = 0,[/tex3]

[tex3]n\geq 2.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n\geq 2.[/tex3]

Calcule [tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}A_n.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}A_n.[/tex3]

Resposta

---

possível gabarito An = (1/2) (52)^(1/n) sen( π/n )

[mcarvalho]

Boa tarde.

Eu não sei se foi erro de digitação/formatação ou o quê, mas na questão original, a equação correta é [tex3]\sqrt 7+3i-x^{2n}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt 7+3i-x^{2n}=0[/tex3]

e o que queremos é descobrir [tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}A_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x\rightarrow \infty}A_n[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]x^{2n}=\rho cis\theta \rightarrow x_k=\rho^{\frac{1}{2n}}cis\frac{\theta+2k\pi}{2n}=\rho^{\frac{1}{2n}}cis(\frac{\theta}{2n}+\frac{k\pi}{n})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2n}=\rho cis\theta \rightarrow x_k=\rho^{\frac{1}{2n}}cis\frac{\theta+2k\pi}{2n}=\rho^{\frac{1}{2n}}cis(\frac{\theta}{2n}+\frac{k\pi}{n})[/tex3]

para [tex3]0 \leq k < 2n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 \leq k < 2n[/tex3]

Isso determina um polígono de 2n lados com ângulo interno [tex3]\frac{\pi}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{n}[/tex3]

e com raio da circunferência circunscrita [tex3]\rho^{\frac{1}{2n}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rho^{\frac{1}{2n}}[/tex3]

.

A área pode ser obtida somando os 2n triângulos que aparecem se você ligar o centro do polígono a cada vértice. Temos que:
[tex3]s=\frac{ab sin\alpha}{2}=\frac{r^2 sin \alpha}{2}=\frac{\rho^\frac{1}{n}sin\frac{\pi}{n}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s=\frac{ab sin\alpha}{2}=\frac{r^2 sin \alpha}{2}=\frac{\rho^\frac{1}{n}sin\frac{\pi}{n}}{2}[/tex3]

E como temos 2n triângulos, então a área total é dada por [tex3]2ns=n\rho^\frac{1}{n}sin\frac{\pi}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2ns=n\rho^\frac{1}{n}sin\frac{\pi}{n}[/tex3]

Então basta calcular rho.

[tex3]\sqrt{7}+3i=4(\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{3}{4}i)=4cis(\theta) \rightarrow \rho=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{7}+3i=4(\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{3}{4}i)=4cis(\theta) \rightarrow \rho=4[/tex3]

Então [tex3]A_n=4^\frac{1}{n}\frac{sin\frac{\pi}{n}}{\frac{1}{n}}=\frac{4^\frac{1}{n}\pi sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_n=4^\frac{1}{n}\frac{sin\frac{\pi}{n}}{\frac{1}{n}}=\frac{4^\frac{1}{n}\pi sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}[/tex3]

Queremos [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}A_n=lim_{\frac{\pi}{n} \rightarrow 0}A_n=\lim_{u \rightarrow 0} \pi4^{\frac{u}{\pi}}\frac{sinu}{u}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}A_n=lim_{\frac{\pi}{n} \rightarrow 0}A_n=\lim_{u \rightarrow 0} \pi4^{\frac{u}{\pi}}\frac{sinu}{u}[/tex3]

4

Ali aparece o limite trigonométrico fundamental, que existe é 1, e um limite que basta substituir pra calcular: [tex3]4^\frac{0}{\pi}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^\frac{0}{\pi}=1[/tex3]

. Como os dois limites existem, então o limite do produto é o produto dos limites, e temos simplesmente que

[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}A_n=\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n\rightarrow \infty}A_n=\pi[/tex3]

Acredito que seja isso.