Olimpíadas ⇒ Geometria - Teorema de Menelaus Tópico resolvido
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GabrielOBM
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Jan 2019
16
15:50
Geometria - Teorema de Menelaus
Dado um triangulo ABC, seja X,Y,Z os pontos de interseção das 3 bissetrizes externas com o seus respectivos lados opostos. Prove que X,Y,Z são colineares.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2019
16
16:32
Re: Geometria - Teorema de Menelaus
basta usar o teorema da bissetriz externa:
[tex3]\frac{AB}{BX} = \frac{AC}{CX}[/tex3]
[tex3]\frac{BC}{CY} = \frac{AB}{AY}[/tex3]
[tex3]\frac{CA}{AZ} = \frac{BC}{BZ}[/tex3]
de onde
[tex3]\frac{AY}{CY } \cdot \frac{CX}{BX} \cdot \frac{BZ}{AZ} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{AC}{AB} \cdot \frac{BC}{AC} = 1[/tex3]
e então [tex3]X,Y,Z[/tex3] são alinhados
[tex3]\frac{AB}{BX} = \frac{AC}{CX}[/tex3]
[tex3]\frac{BC}{CY} = \frac{AB}{AY}[/tex3]
[tex3]\frac{CA}{AZ} = \frac{BC}{BZ}[/tex3]
de onde
[tex3]\frac{AY}{CY } \cdot \frac{CX}{BX} \cdot \frac{BZ}{AZ} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{AC}{AB} \cdot \frac{BC}{AC} = 1[/tex3]
e então [tex3]X,Y,Z[/tex3] são alinhados
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