Ensino Médio ⇒ Trigonometria - Números Complexos Tópico resolvido

[GabrielOBM]

Prove que:
[tex3]\cos \(\frac{\pi}{11}\)+ \cos \(\frac{3\pi}{11}\)
+ \cos \(\frac{5\pi}{11}\) +\cos \(\frac{7\pi}{11}\)+
\cos \(\frac{9\pi}{11}\) = 1÷2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos \(\frac{\pi}{11}\)+ \cos \(\frac{3\pi}{11}\)
+ \cos \(\frac{5\pi}{11}\) +\cos \(\frac{7\pi}{11}\)+
\cos \(\frac{9\pi}{11}\) = 1÷2[/tex3]

[MateusQqMD]

Uma ideia que funciona para soma de cossenos em PA é multiplicar a expressão por 2 [tex3]\cdot[/tex3]

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[tex3]\cdot[/tex3]

sen (da metade da razão)

Seja [tex3]S = \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\)[/tex3]

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[tex3]S = \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\)[/tex3]

Multilpicando ambos os lados da igualdade por [tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3]

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[tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3]

, temos

[tex3]\begin{aligned}

2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= 2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \[ \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\) \]
\\
\\
&= 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{3\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+ 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{7\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{9\pi}{11}\)
\end{aligned}[/tex3]

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[tex3]\begin{aligned}

2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= 2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \[ \cos\(\frac{\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{3\pi}{11}\) + \cos\(\frac{5\pi}{11}\) + \cos\(\frac{7\pi}{11}\)+ \cos\(\frac{9\pi}{11}\) \]
\\
\\
&= 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{3\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+ 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{7\pi}{11}\) + 2\sen\(\frac{\pi}{11}\)\cos\(\frac{9\pi}{11}\)
\end{aligned}[/tex3]

Por Prostaférese, sabemos que

[tex3]2\sen(x)cos(y)=\sen(x+y)+\sen(x-y)[/tex3]

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[tex3]2\sen(x)cos(y)=\sen(x+y)+\sen(x-y)[/tex3]

Segue, daí, que

[tex3]\begin{aligned}

2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= \sen\(\frac{2\pi}{11}\) + \sen\(0\) + \sen\(\frac{4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{- 2\pi}{11}\) + \sen\(\frac{6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{8\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-8\pi}{11}\)
\\
\\
&= \cancel{\sen\(\frac{2\pi}{11}\)} + \sen\(0\) + \cancel{\sen\(\frac{4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{- 2\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{6\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{8\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-6\pi}{11}\)} + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \cancel{\sen\(\frac{-8\pi}{11}\)}
\\
\\
&= \sen\(\frac{10\pi}{11}\)

\end{aligned}[/tex3]

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[tex3]\begin{aligned}

2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S &= \sen\(\frac{2\pi}{11}\) + \sen\(0\) + \sen\(\frac{4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{- 2\pi}{11}\) + \sen\(\frac{6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-4\pi}{11}\) + \sen\(\frac{8\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-6\pi}{11}\) + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \sen\(\frac{-8\pi}{11}\)
\\
\\
&= \cancel{\sen\(\frac{2\pi}{11}\)} + \sen\(0\) + \cancel{\sen\(\frac{4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{- 2\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{6\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-4\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{8\pi}{11}\)} + \cancel{\sen\(\frac{-6\pi}{11}\)} + \sen\(\frac{10\pi}{11}\) + \cancel{\sen\(\frac{-8\pi}{11}\)}
\\
\\
&= \sen\(\frac{10\pi}{11}\)

\end{aligned}[/tex3]

Mas [tex3]\sen\(x\) = \sen\(\pi-x\)[/tex3]

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[tex3]\sen\(x\) = \sen\(\pi-x\)[/tex3]

, ou seja,

[tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S = \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3]

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[tex3]2\cdot \sen\(\frac{\pi}{11}\) \cdot S = \sen\(\frac{\pi}{11}\)[/tex3]

[tex3]S = \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]S = \frac{1}{2}[/tex3]