Ensino Superior ⇒ Cálculo de Volume / Cálculo 2 Tópico resolvido
Jun 2018
23
19:03
Cálculo de Volume / Cálculo 2
Esboce a região de integração e calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = x + y e limitado inferiormente pelo triângulo de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, 0)
- Cardoso1979
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Jun 2018
24
00:04
Re: Cálculo de Volume / Cálculo 2
Observe
Solução
[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}dV[/tex3] , em que W é o sólido representado na figura abaixo:
Que pode ser escrito como;
W = { ( x , y , z ) [tex3]\in [/tex3] IR³ : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 - x e 0 ≤ z ≤ x + y }
Então;
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}\int\limits_{0}^{x+y}1 \ dz \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}[ z ]_{0}^{x+y} \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}(x+y) \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1} [xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x} \ dx[/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2)dx[/tex3]
[tex3]V=\frac{1}{2}.[x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}= \frac{1}{3}[/tex3]
Portanto, o volume encontrado é [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] u.v.
Obs. O plano z = x + y, digamos que ele é a "tampa inclinada" do sólido W.
Bons estudos!!
Solução
[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}dV[/tex3] , em que W é o sólido representado na figura abaixo:
Que pode ser escrito como;
W = { ( x , y , z ) [tex3]\in [/tex3] IR³ : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 - x e 0 ≤ z ≤ x + y }
Então;
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}\int\limits_{0}^{x+y}1 \ dz \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}[ z ]_{0}^{x+y} \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}(x+y) \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1} [xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x} \ dx[/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2)dx[/tex3]
[tex3]V=\frac{1}{2}.[x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}= \frac{1}{3}[/tex3]
Portanto, o volume encontrado é [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] u.v.
Obs. O plano z = x + y, digamos que ele é a "tampa inclinada" do sólido W.
Bons estudos!!
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