Ensino Superior

Mensagem não lidapor **siliane** » 27 Nov 2017, 19:37 · Mensagem não lida por **siliane** » 27 Nov 2017, 19:37

Considerando C o conjunto dos números complexos, z  C e z̅ o seu conjugado, assinale o que for correto.
01) Todas as soluções complexas da equação z4 + 16 = 0 pertencem ao conjunto S = {zC; 0<|z|≤2}.
02) √22 é o módulo de uma das soluções complexas da equação iz+3z̅+(z+z̅)2−i=0.
04) z=√6− i é uma das raízes de √5−2√6 i.
08) (√32−12 i)21=i.
16) [2.(cosπ6+i senπ6)].[4.(cosπ3+i senπ3)]=8i.

Mensagem não lidapor **alevini98** » 01 Dez 2017, 16:17 · Mensagem não lida por **alevini98** » 01 Dez 2017, 16:17

01) Correta.

Resposta

[tex3]z^4+16=0\\z=\sqrt[4]{-16}\\z=\sqrt[4]{w}[/tex3]

[tex3]|w|=\sqrt{16^2+0^2}\\|w|=16[/tex3]

[tex3]\left.\begin{array}{l}\cos\theta=\frac{a}{|w|}\to\frac{-16}{16}=-1\\\sen\theta=\frac{b}{|w|}\to\frac{0}{16}=0\end{array}\right\}\theta=\pi[/tex3]

[tex3]\sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{|w|}\left(\cos\frac{\theta+2\pi k}{n}+i\cdot\sen\frac{\theta+2\pi k}{n}
\right)[/tex3]

[tex3]k\to0,1,2,...,n-1[/tex3]

[tex3]\boxed{k\to0,1,2,3}[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{-16}=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}{4}+i\cdot\sen\frac{\pi+2\pi k}{4}
\right)[/tex3]

Para [tex3]k=0[/tex3] ,

[tex3]\sqrt[4]{-16}=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi+2\pi\cdot0}{4}+i\cdot\sen\frac{\pi+2\pi\cdot0}{4}
\right)\\\sqrt[4]{-16}=2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\cdot\frac{\sqrt2}{2}
\right)\\\boxed{\sqrt[4]{-16}=\sqrt2+\sqrt2i
}[/tex3]

Para [tex3]k=1[/tex3] ,

[tex3]\sqrt[4]{-16}=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi+2\pi\cdot1}{4}+i\cdot\sen\frac{\pi+2\pi\cdot1}{4}
\right)\\\sqrt[4]{-16}=2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+i\cdot\frac{\sqrt2}{2}
\right)\\\boxed{\sqrt[4]{-16}=-\sqrt2+\sqrt2i
}[/tex3]

Para [tex3]k=2[/tex3] ,

[tex3]\sqrt[4]{-16}=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi+2\pi\cdot2}{4}+i\cdot\sen\frac{\pi+2\pi\cdot2}{4}
\right)\\\sqrt[4]{-16}=2\left(-\frac{2}{2}-i\cdot\frac{\sqrt2}{2}
\right)\\\boxed{\sqrt[4]{-16}=-\sqrt2-\sqrt2i
}[/tex3]

Para [tex3]k=3[/tex3] ,

[tex3]\sqrt[4]{-16}=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi+2\pi\cdot3}{4}+i\cdot\sen\frac{\pi+2\pi\cdot3}{4}
\right)\\\sqrt[4]{-16}=2\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\cdot\frac{\sqrt2}{2}
\right)\\\boxed{\sqrt[4]{-16}=\sqrt2-\sqrt2i
}
[/tex3]

Tirando o módulo de todas as raízes,

[tex3]\sqrt2+\sqrt2i\to|z|=2\\\sqrt2-\sqrt2i\to|z|=2\\-\sqrt2+\sqrt2i\to|z|=2\\-\sqrt2-\sqrt2i\to|z|=2[/tex3]

02) Correta.

Resposta

[tex3]iz+3\overline{z}+(z+\overline{z})^2-i=0\\i(a+bi)+3(a-bi)+(a+bi+a-bi)^2-i=0\\ai+bi^2+3a-3bi+(2a)^2-i=0\\ai-b+3a-3bi+4a^2-i=0\\\left\{\begin{array}{l}
-b+3a+4a^2=0&\mbox{(parte real)}\\a-3b-1=0&\mbox{(parte imaginária)}
\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}-b+3a+4a^2=0\\b=\frac{a-1}{3}
\end{array}\right.\\-\left(\frac{a-1}{3}\right)+3a+4a^2=0\\-a+1+9a+12a^2=0\\12a^2+8a+1=0\\\boxed{a'=-\frac{1}{2}
}\\\boxed{a''=-\frac{1}{6}}\\\\b=\frac{a-1}{3}\\\boxed{b'=-\frac{1}{2}}\\\boxed{b''=-\frac{7}{18}}\\z'=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\to\boxed{|z|=\frac{\sqrt2}{2}}\\z''=-\frac{1}{6}-\frac{7}{18}i[/tex3]

04) Correta.

Resposta

Caso a proposição seja verdadeira, então será válido a seguinte igualdade:

[tex3]\sqrt6-i=\sqrt{5-2\sqrt6i}\\(\sqrt6-i)^2=5-2\sqrt6i\\6-2\sqrt6i+i^2=5-2\sqrt6i\\6-1-2\sqrt6=5-2\sqrt6\\\boxed{5-2\sqrt6=5-2\sqrt6}[/tex3]

08) Correta.

Resposta

[tex3]\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}i\right)^{21}\\\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}i\right)^{3\cdot7}\\(-i)^7\to(-i)^3\\i[/tex3]

16) Correta.

Resposta

[tex3]\left[2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\cdot\sen\frac{\pi}{6}\right)\right]\cdot\left[4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\cdot\sen\frac{\pi}{3}\right)\right]=8i\\\left\{2\cdot4\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+i\cdot\sen\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right]\right\}=8i\\8\left(
\cos\frac{\pi}{2}+i\cdot\sen\frac{\pi}{2}=8i\right)\\8(0+i)=8i\\8i=8i[/tex3]

[tex3]\boxed{31}[/tex3]

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