IME / ITA ⇒ (IME) Lugar geométrico Tópico resolvido
- undefinied3
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Ago 2017
26
14:05
(IME) Lugar geométrico
Um ponto se move de modo que o quadrado de sua distância à base de um triângulo isósceles é igual ao produto de suas distâncias aos outros dois lados do triângulo. Determine a equação da trajetória deste ponto, identificando a curva descrita e respectivos parâmetros utilizados.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
- Andre13000
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Ago 2017
26
15:14
Re: (IME) Lugar geométrico
Idealizando um triângulo isósceles de base 2a, lado s e altura h, ao colocar-se este no centro do sistema cartesiano, com a base tangente ao eixo das abcissas, se tem que as retas que definem os lados da figura são da forma:
[tex3]\pm \frac{hx}{a}-y+h=0[/tex3]
Agora, seja o ponto de coordenadas [tex3](x_0,y_0)[/tex3] tal que satisfaça a condição imposta. Denotando a distância aos lados do triângulo por [tex3]d_1 [/tex3] e [tex3]d_2[/tex3] , se tem que:
[tex3]y^2=d_1d_2[/tex3]
Da geometria analítica, se tem que:
[tex3]d_1=\frac{\frac{hx_0}{a}-y_0+h}{\sqrt{\frac{h^2}{a^2}+1}}=\frac{hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_2=\frac{-hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_1d_2=\frac{(ay_0-ah)^2-h^2x_0^2}{a^2+h^2}=y_0^2\\
a^2y_0^2-2a^2y_0h+a^2h^2-h^2x_0^2=y_0^2a^2+y_0^2h^2\\
h^2x_0^2+y_0^2h^2+2a^2y_0h=a^2h^2\\
h^2x_0^2+(y_0h+a^2)^2=a^2h^2+a^4\\
x_0^2+(y_0+\frac{a^2}{h})^2=a^2+\frac{a^4}{h^2}[/tex3]
Tem gabarito? acho que errei o sinal.
[tex3]\pm \frac{hx}{a}-y+h=0[/tex3]
Agora, seja o ponto de coordenadas [tex3](x_0,y_0)[/tex3] tal que satisfaça a condição imposta. Denotando a distância aos lados do triângulo por [tex3]d_1 [/tex3] e [tex3]d_2[/tex3] , se tem que:
[tex3]y^2=d_1d_2[/tex3]
Da geometria analítica, se tem que:
[tex3]d_1=\frac{\frac{hx_0}{a}-y_0+h}{\sqrt{\frac{h^2}{a^2}+1}}=\frac{hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_2=\frac{-hx_0-ay_0+ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\\
d_1d_2=\frac{(ay_0-ah)^2-h^2x_0^2}{a^2+h^2}=y_0^2\\
a^2y_0^2-2a^2y_0h+a^2h^2-h^2x_0^2=y_0^2a^2+y_0^2h^2\\
h^2x_0^2+y_0^2h^2+2a^2y_0h=a^2h^2\\
h^2x_0^2+(y_0h+a^2)^2=a^2h^2+a^4\\
x_0^2+(y_0+\frac{a^2}{h})^2=a^2+\frac{a^4}{h^2}[/tex3]
Tem gabarito? acho que errei o sinal.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
- undefinied3
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Ago 2017
26
15:29
Re: (IME) Lugar geométrico
Pior que não tenho. Pelo o que eu vi parece estar certinho, vou aceitar a resolução porque se for um erro de sinal, isso nem importa muito.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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