Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra - Estude! Com Prof. Caju

Auto Excluído (ID:17906) · 2017-04-19T18:19:23-03:00

Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra Muito Obrigado jomatlove

Olimpíadas ⇒ Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra Tópico resolvido

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Auto Excluído (ID:17906): Última visita: 31-12-69

Abr 2017 19 18:19

Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:17906) » 19 Abr 2017, 18:19

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » 19 Abr 2017, 18:19

Sejam x y z números reais tais que
[tex3]x^{2}[/tex3] + 5xz + [tex3]z^{2}[/tex3] = 7,
[tex3]x^{2}[/tex3] z + [tex3]z^{2}[/tex3] x = 2.
Se x + z [tex3]\neq[/tex3] 2, determine o valor de [tex3](6xz)^{2}[/tex3] .

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Auto Excluído (ID:17906)

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Abr 2017 19 19:27

Re: Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra

Mensagem não lidapor jomatlove » 19 Abr 2017, 19:27

Mensagem não lida por jomatlove » 19 Abr 2017, 19:27

Resolução:
[tex3]x^{2}z+z^{2}x=2\rightarrow xz(x+z)=2[/tex3]
[tex3]x^{2}+5xz+z^{2}=7\rightarrow (x^{2}+2xz+z^{2})+3xz=7[/tex3]
[tex3](x+z)^{2}=7-3xz[/tex3]
[tex3](xz)^{2}[/tex3][tex3](x+z)^{2}[/tex3] =([tex3]7-3xz[/tex3] )[tex3](xz)^{2}[/tex3]
[tex3][(xz)(x+z)]^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]2^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]3(xz)^{3}-7(xz)^{2}+4=0[/tex3]
Como [tex3]3-7+4=0[/tex3] ,então 1 é raiz.Assim obtemos as seguintes raízes:[tex3]xz=1\vee xz=2\vee xz=-\frac{1}{3}[/tex3]
Portanto temos três soluções:
1)[tex3](6xz)^{2}=(6.1)^{2}=36[/tex3]
2)[tex3](6xz)^{2}=(6.2)^{2}=12^{2}=144[/tex3]
3)[tex3](6xz)^{2}=[6(-\frac{1}{3})]^{2}=(-2)^{2}=4[/tex3]

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Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)

jomatlove

Auto Excluído (ID:17906): Última visita: 31-12-69

Abr 2017 19 19:29

Re: Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:17906) » 19 Abr 2017, 19:29

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » 19 Abr 2017, 19:29

Muito Obrigado jomatlove

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Auto Excluído (ID:17906)

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por Auto Excluído (ID:17906) » 19 Abr 2017, 17:59 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Qual é o valor de \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + ...}}} ?
a) \frac{8}{3}
b) 2 \sqrt{2}
c) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{12}}{2}
d) 3
e) \sqrt{2} + \sqrt{3}

Última mensagem

Resolução:
x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}
x^{2}=6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}
x^{2}=6+x
x^{2}-x-6=0
x=3 \vee x=-2 (não serve)
\therefore \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}=3

:) :)

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Primeira Postagem

Na representação decimal
34!=295232799039a041408476186096435b0000000 .
Encontre os valores de a e b .

Última mensagem

O número deve ser divisível por 11:

0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2-(0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9)=11k
a+77-(b+59)=11k
a-b+18=11k
a-b+7=11(k-1)=11k'
Como a e b são...

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Primeira Postagem

A partir de x+y+z=1; x²+y²+z²=9; x^{3} + y^{3} + z^{3} =1. O valor de \frac{4}{x^{4}+y^{4}+z^{4}} é igual a:
a)1/33
b)2/33
c)4/33
d)16/33
e)64/33

Última mensagem

Questão clássica. O jeito mais fácil é ir por polinômios. Seja o polinômio, em t, de raízes x, y e z. Façamos:
t^3 + at^2 + bt+ c= 0
Nosso objetivo vai ser calcular a, b e c. Logo de cara, sabemos...

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Primeira Postagem

(Cone Sul - Peru, 2012) Encontre o maior inteiro positivo n , menor que 2012, que cumpra a seguinte propriedade:
Se p é um divisor primo de n , então p^2-1 é um divisor de n .

OBS: Não tenho...

Última mensagem

Como mdc(p, p^2-1) = 1

então (p-1) \cdot p \cdot (p+1) | n

Num produto de 3 números consecutivos, algum é múltiplo de 3, e n também é múltiplo de 3^2 -
1 = 8

Ou seja, n é múltiplo de 24....

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Primeira Postagem

O reta da divisão \frac{x+x^{199}+1}{\frac{x^{5}-1}{x-1}} é igual a:
a)x²(x-1)
b) x^{3} (x-1)
c)x(x+1)
d)-x²(x+1)
e) x^{4} (x+1)

Última mensagem

Primeiro faz:

\frac{(x-1) \cdot (x+x^{199}+1)}{x^5-1} = \frac{x^{200}-x^{199}+x^2-1}{x^5-1}

(x^5)^{40} - (x^5)^{39} \cdot x^4 +x^2-1 \equiv 1 -x^4+x^2-1 \equiv -x^4+x^2 \mod(x^5-1)

Agora tira...

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19 Jan 2018, 14:40

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