IME / ITA

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 04 Abr 2015, 23:56 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 04 Abr 2015, 23:56

$\sum_{r=1}^{4}log_{[2]} (sin\left(\frac{r.\pi }{5}\right))= M$

Então o valor de $(2)^{M+4}$ é:

Resposta

5

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 12 Set 2015, 04:00 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 12 Set 2015, 04:00

$\sum_{r=1}^{4}log_{[2]} (sin\left(\frac{r.\pi }{5}\right))= M$

$sin (\frac{\pi }{5})\cdot sin(\frac{2\pi }{5})\cdot sin (\frac{3\pi }{5}) \cdot sin(\frac{4\pi }{5})= 2^M$

Fazendo:

$z = cos(\frac{\pi }{5})+isin (\frac{\pi }{5})$

$z^5+1 = 0$

$z^5+z^4-z^4+z^3-z^3+z^2-z^2+z -z+ 1 = 0$

$z^4.(z+1)-z^3.(z+1)+z^2.(z+1)-z.(z+1)+(z + 1) = 0$

$(z+1)\cdot (z^4-z^3+z^2-z+1) = 0$

Trabalhando com o segundo fator:

$z^4-z^3+z^2-z+1 = 0$

$-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+z^2-z+1 = 0$

$-z^{-1}+z^{-2}+z^2-z+1 = 0$

Fazendo:

$z^{-1}+z = 2cos(\frac{\pi }{5}) = x$

$x^2-x-1 = 0$

$cos(\frac{\pi }{5}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$

Voltando à expressão e usando o fato:

$sen(\frac{\pi }{5}) = (\frac{z^2-1}{2iz})$

$sin (\frac{\pi }{5})\cdot sin(\frac{2\pi }{5})\cdot sin (\frac{3\pi }{5}) \cdot sin(\frac{4\pi }{5})= 2^M$

$(\frac{z^2-1}{2iz}).(\frac{z^4-1}{2iz^2}).(\frac{z^6-1}{2iz^3}).(\frac{z^8-1}{2iz^4})= 2^M$

$(z^2-1).(z^4-1).(z+1).(z^3+1)= 16\cdot 2^M$

$z^{10} + z^9 - z^8 -2z^5 - z^2 + z + 1= 16\cdot 2^M$

$-z^4 + z^3 - z^2 + z + 4= 16\cdot 2^M$

$z^{-1} -z^{-2} - z^2 + z + 4= 16\cdot 2^M$

$2\cdot(cos(\frac{\pi }{5})) - 2\cdot (cos(\frac{2\pi }{5})) + 4= 16\cdot 2^M$

$2\cdot(\frac{1+\sqrt{5}}{4}) - 2\cdot (\frac{(1+\sqrt{5})^2}{8} -1) + 4= 16\cdot 2^M$

$5 = 2^{M+4}$

IME / ITA ⇒ (IIT - JEE) Logaritmo, somatório e trigonometria

(IIT - JEE) Logaritmo, somatório e trigonometria

Re: (IIT - JEE) Logaritmo, somatório e trigonometria

IME / ITA ⇒ (IIT - JEE) Logaritmo, somatório e trigonometria

(IIT - JEE) Logaritmo, somatório e trigonometria

Re: (IIT - JEE) Logaritmo, somatório e trigonometria

Entrar | Registrar