IME / ITA ⇒ (EN - 1990) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Esta outra questão também me deixou intrigado. Quem puder ajudar, muito agradeço. O gabarito é letra D. Tinha achado letra B.
A equação [tex3]\text{tg}\,^2(2x) + 2\text{tg}\,(2x).\text{tg}\,(3x) = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{tg}\,^2(2x) + 2\text{tg}\,(2x).\text{tg}\,(3x) = 1[/tex3]

possui, no intervalo [tex3][0,\,2\pi],[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0,\,2\pi],[/tex3]

a) 2 soluções
b) 6 soluções
c) 8 soluções
d) 12 soluções
e) 14 soluções

[marco_sx]

Olá mvgcsdf.
Acredito que essa seja a solução.

Primeiro vamos ver a condição de existência:

[tex3]cos(2x)\neq0 \Rightarrow x\neq\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(2x)\neq0 \Rightarrow x\neq\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}[/tex3]

, com k pertencente aos inteiros
[tex3]cos(3x)\neq0 \Rightarrow x\neq\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]cos(3x)\neq0 \Rightarrow x\neq\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}[/tex3]

, com k pertencente aos inteiros

Agora vejamos:

[tex3]tg^2(2x)+2.tg(2x).tg(3x)=1 \Rightarrow 2.tg(2x).tg(3x)=1-tg^2(2x) \Rightarrow \frac{2.tg(2x)}{1-tg^2(2x)}.tg(3x)=1 \Rightarrow[/tex3]

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[tex3]tg^2(2x)+2.tg(2x).tg(3x)=1 \Rightarrow 2.tg(2x).tg(3x)=1-tg^2(2x) \Rightarrow \frac{2.tg(2x)}{1-tg^2(2x)}.tg(3x)=1 \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow tg(4x).tg(3x)=1 \Rightarrow sen(4x).sen(3x)=cos(4x).cos(3x)[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow tg(4x).tg(3x)=1 \Rightarrow sen(4x).sen(3x)=cos(4x).cos(3x)[/tex3]

Multiplicando por (-2) os dois lados e aplicando prostaférese, temos:

[tex3]cos(7x)-cos(x)=-cos(7x)-cos(x) \Rightarrow cos(7x)=0[/tex3]

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[tex3]cos(7x)-cos(x)=-cos(7x)-cos(x) \Rightarrow cos(7x)=0[/tex3]

Portanto: [tex3]x=\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7}[/tex3]

Para o intervalo [tex3][0,2\pi] \Rightarrow x\in{\frac{\pi}{14}, \frac{3\pi}{14},\frac{5\pi}{14},\frac{\pi}{2},\frac{9\pi}{14},\frac{11\pi}{14},\frac{13\pi}{14},\frac{15\pi}{14},\frac{17\pi}{14},\frac{19\pi}{14},\frac{3\pi}{2},\frac{23\pi}{14},\frac{25\pi}{14},\frac{27\pi}{14}} \Rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0,2\pi] \Rightarrow x\in{\frac{\pi}{14}, \frac{3\pi}{14},\frac{5\pi}{14},\frac{\pi}{2},\frac{9\pi}{14},\frac{11\pi}{14},\frac{13\pi}{14},\frac{15\pi}{14},\frac{17\pi}{14},\frac{19\pi}{14},\frac{3\pi}{2},\frac{23\pi}{14},\frac{25\pi}{14},\frac{27\pi}{14}} \Rightarrow[/tex3]

14 soluções

Mas pela condição de existência [tex3]x\neq\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]x\neq\frac{\pi}{2}[/tex3]

e [tex3]x\neq\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\neq\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Portanto, a equação apresenta 12 soluções.
Alternativa D

[mvgcsdf]

Valeu, cara!! Muito obrigado pela atenção despendida.