Ensino Superior ⇒ Integral definida

[Mirela]

Oi, alguém poderia me ajudar a resolver esta integral que é de uma lista de exercícios, por favor?

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{6x^2-4}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{6x^2-4}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

dx

Obrigada desde já,
att, Mirela.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{6x^2-4}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{6x^2-4}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

2 [tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{3x^2-2}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{3x^2-2}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]u = x^3-2x+3[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]u(-2)=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]u(0)=3[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{du}{dx} = 3x^2-2[/tex3]

2([tex3]\int\limits_{-1}^{3} \left(\frac{du}{u}\right) + \int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{dx}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-1}^{3} \left(\frac{du}{u}\right) + \int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{dx}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

)
2(

Código: Selecionar tudo

[tex3]ln(3)[/tex3]

+ [tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{dx}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{dx}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

)

só que

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{dx}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-2}^{0} \left(\frac{dx}{x^3-2x+3}\right)[/tex3]

não converge, então essa integral ai diverge

[jrneliodias]

Olá, Mirela.

Note que:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{d}{dx}(x^3-2x+3)\,\,=\,\,3x^2-2\,\,=\,\,\frac{1}{2}\,(6x^2-4)[/tex3]

Se

Código: Selecionar tudo

[tex3]u=x^3-2x+3[/tex3]

,

então

Código: Selecionar tudo

[tex3]2u'=6x^2-4[/tex3]

E lembrando que

Código: Selecionar tudo

[tex3]\int \frac{2u'}{u}dx=\ln u^2+c[/tex3]

Portanto,

Código: Selecionar tudo

[tex3]\int_0^2\frac{6x^2-4}{x^3-2x+3}\,dx=\left[\frac{}{}\ln\,(x^3-2x+3)^2\,\right]_0^2[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]=\ln\frac{49}{9}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[Mirela]

Muito obrigada pelas respostas jrneliodias e sousóeu, vocês me ajudaram muito!!
Minha dúvida quanto esta questão foi a mesma que a do sousóeu, não conseguia terminá-la quando fazia com os limites de -2 a 0; agora consegui entender como solucioná-la, muito obrigada mesmo, aos dois!!!
Abraços, Mirela.

[ManUtd]

Olá


Na verdade a integral diverge como o primeiro usuário afirmou porém ele não demonstrou corretamente.O problema é que estão confundindo integral imprópria com integral definida, se tentarmos resolver uma integral imprópria com o msm procedimento da integral definida muitas das vezes conseguiremos "valores falsos" .


Outro problema é que o ponto de descontinuidade é :

Código: Selecionar tudo

[tex3]-2\sqrt[3]{ \frac{2}{3(27-\sqrt{633})}}-
\frac{ \sqrt[3]{\frac{1}{2} *(27-\sqrt{633})} }{ 3^{ \frac{2}{3} } }[/tex3]

que pode ser obtido usando a fórmula de cardano no polinômio do denominador.Então o procedimento correto é :

Código: Selecionar tudo

[tex3]\\\\\\ \int_{-2}^{0} \; \frac{6x^2-4}{x^3-2x+3} \; dx=\lim_{a \to \left( -2\sqrt[3]{ \frac{2}{3(27-\sqrt{633})}}-
\frac{ \sqrt[3]{\frac{1}{2} *(27-\sqrt{633})} }{ 3^{ \frac{2}{3} } } \right)^{-} } \;\int_{-2}^{a} \; \frac{6x^2-4}{x^3-2x+3} \; dx+\lim_{b \to \left( -2\sqrt[3]{ \frac{2}{3(27-\sqrt{633})}}-
\frac{ \sqrt[3]{\frac{1}{2} *(27-\sqrt{633})} }{ 3^{ \frac{2}{3} } } \right)^{+} } \;\int_{b}^{0} \; \frac{6x^2-4}{x^3-2x+3} \; dx[/tex3]

Agora proceda da mesma forma que os tópicos abaixo.


http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... 39997.html

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... 26637.html

[jrneliodias]

Olá, ManUtd.

Poderia me explicar por que o Wolfram não identificou a descontinuidade?


Obrigado pela atenção.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Olá, ManUtd.

Poderia me explicar por que o Wolfram não identificou a descontinuidade?


Obrigado pela atenção.

provavelmente porque você deve ter colocado como limites de integração 0 e 2 ao invés de -2 a 0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... x%2B3%29dx

a raíz da equação de terceiro grau está no intervalo -2 a 0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2B3%29%3D0