Ensino Superior ⇒ Integral dupla utilizando coordenadas polares Tópico resolvido

[magben]

Utilizando coordenadas polares, calcule a integral dupla a seguir [tex3]\int\limits\int\limits_{R} x^2+y^2 dA [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits\int\limits_{R} x^2+y^2 dA [/tex3]

em que R é a região [tex3]x^2+y^2=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+y^2=1[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(x^2 + y^2)dA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(x^2 + y^2)dA[/tex3]

.

Note que a região - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) e - 1 ≤ x ≤ 1 trata-se de um círculo de raio um(1), logo , em coordenadas polares fica;

[tex3]0 ≤ \theta ≤ 2π[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 ≤ \theta ≤ 2π[/tex3]

e 0 ≤ r ≤ 1. ( Obs.1 Essas transformações podem ser encontradas através de algumas manipulações algébricas , ficará como exercício para você )


Assim,

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}r^2.rdrd\theta = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}r^2.rdrd\theta = [/tex3]

Obs 2 dydx = rdrd [tex3]\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta [/tex3]

e x² + y² = r².

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}r^3drd\theta = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}r^3drd\theta = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}[\frac{r^4}{4}]_{0}^{1}d\theta = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}[\frac{r^4}{4}]_{0}^{1}d\theta = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\frac{1}{4} \ d\theta = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\frac{1}{4} \ d\theta = [/tex3]

[tex3][ \frac{\theta }{4} ]_{0}^{2π} = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ \frac{\theta }{4} ]_{0}^{2π} = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2} [/tex3]

.


Portanto,

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}r^3drd\theta = \frac{π}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}r^3drd\theta = \frac{π}{2} [/tex3]

.


Excelente estudo!