Ensino Superior ⇒ Limite

[Natan]

Calcule:

[tex3]\lim_{(x,\, y) \to (0,\, 0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,\, y) \to (0,\, 0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2}[/tex3]

o limite dá zero, mas tem como resolver sem usar a definição???

[andrecaldas]

Note que
[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| = \left| \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \left| \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} \right| + \left| \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} + \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} = \\ = 2 \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} \leq \\ \leq 2 \frac{(2\max(|x|,|y|))^2}{\max(|x|,|y|)^2} \leq 2^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| = \left| \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \left| \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} \right| + \left| \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} + \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} = \\ = 2 \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} \leq \\ \leq 2 \frac{(2\max(|x|,|y|))^2}{\max(|x|,|y|)^2} \leq 2^3[/tex3]

.

Agora é só multiplicar por y e fazer y ir pra 0.

[Natan]

Não entedi, gostaria q fizesse usando a definição mas explicando passo por passo tem como? to com muita dificuldade pra entender

[andrecaldas]

Direto da definição eu não sei...

Nesse meu aí de cima, eu compliquei um pouco.
1. Mostre que [tex3]|4xy| \leq 2 (|x|+|y|)^2 \leq 2^3 \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|4xy| \leq 2 (|x|+|y|)^2 \leq 2^3 \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

. (a segunda desigualdade vem de [tex3]|x|+|y| \leq 2 \max(|x|,|y|)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|+|y| \leq 2 \max(|x|,|y|)[/tex3]

)
2. Mostre que o denominador satisfaz [tex3]x^2 + y^2 \geq \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 + y^2 \geq \max(|x|,|y|)^2[/tex3]

.

Com 1 e 2 você tem que
[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)^2} = 2^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)^2} = 2^3[/tex3]

.

Assim, multiplicando por módulo de y,
[tex3]\left| \frac{4xy^2}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 |y| \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \frac{4xy^2}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 |y| \rightarrow 0[/tex3]

quando [tex3]y \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y \rightarrow 0[/tex3]

.