Calcule:
[tex3]\lim_{(x,\, y) \to (0,\, 0)} \frac{4xy^2}{x^2+y^2}[/tex3]
o limite dá zero, mas tem como resolver sem usar a definição???
Ensino Superior ⇒ Limite
- andrecaldas
- Mensagens: 187
- Registrado em: 05 Jul 2010, 22:53
- Última visita: 18-07-11
- Agradeceram: 5 vezes
- Contato:
Mar 2011
06
20:50
Re: Limite
Note que
[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| = \left| \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \left| \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} \right| + \left| \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} + \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} = \\ = 2 \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} \leq \\ \leq 2 \frac{(2\max(|x|,|y|))^2}{\max(|x|,|y|)^2} \leq 2^3[/tex3] .
Agora é só multiplicar por y e fazer y ir pra 0.
[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| = \left| \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \left| \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2} \right| + \left| \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \right| \leq \\ \leq \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} + \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} = \\ = 2 \frac{(|x|+|y|)^2}{x^2+y^2} \leq \\ \leq 2 \frac{(2\max(|x|,|y|))^2}{\max(|x|,|y|)^2} \leq 2^3[/tex3] .
Agora é só multiplicar por y e fazer y ir pra 0.
Editado pela última vez por andrecaldas em 06 Mar 2011, 20:50, em um total de 1 vez.
- Natan
- Mensagens: 3296
- Registrado em: 22 Fev 2008, 19:41
- Última visita: 02-01-24
- Agradeceu: 21 vezes
- Agradeceram: 92 vezes
Mar 2011
07
00:20
Re: Limite
Não entedi, gostaria q fizesse usando a definição mas explicando passo por passo tem como? to com muita dificuldade pra entender
- andrecaldas
- Mensagens: 187
- Registrado em: 05 Jul 2010, 22:53
- Última visita: 18-07-11
- Agradeceram: 5 vezes
- Contato:
Mar 2011
08
18:41
Re: Limite
Direto da definição eu não sei...
Nesse meu aí de cima, eu compliquei um pouco.
1. Mostre que [tex3]|4xy| \leq 2 (|x|+|y|)^2 \leq 2^3 \max(|x|,|y|)^2[/tex3] . (a segunda desigualdade vem de [tex3]|x|+|y| \leq 2 \max(|x|,|y|)[/tex3] )
2. Mostre que o denominador satisfaz [tex3]x^2 + y^2 \geq \max(|x|,|y|)^2[/tex3] .
Com 1 e 2 você tem que
[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)^2} = 2^3[/tex3] .
Assim, multiplicando por módulo de y,
[tex3]\left| \frac{4xy^2}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 |y| \rightarrow 0[/tex3]
quando [tex3]y \rightarrow 0[/tex3] .
Nesse meu aí de cima, eu compliquei um pouco.
1. Mostre que [tex3]|4xy| \leq 2 (|x|+|y|)^2 \leq 2^3 \max(|x|,|y|)^2[/tex3] . (a segunda desigualdade vem de [tex3]|x|+|y| \leq 2 \max(|x|,|y|)[/tex3] )
2. Mostre que o denominador satisfaz [tex3]x^2 + y^2 \geq \max(|x|,|y|)^2[/tex3] .
Com 1 e 2 você tem que
[tex3]\left| \frac{4xy}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 \frac{\max(|x|,|y|)^2}{\max(|x|,|y|)^2} = 2^3[/tex3] .
Assim, multiplicando por módulo de y,
[tex3]\left| \frac{4xy^2}{x^2+y^2} \right| \leq 2^3 |y| \rightarrow 0[/tex3]
quando [tex3]y \rightarrow 0[/tex3] .
Editado pela última vez por andrecaldas em 08 Mar 2011, 18:41, em um total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 1 Resp.
- 1448 Exibições
-
Últ. msg por Babi123
-
- 1 Resp.
- 152 Exibições
-
Últ. msg por roberto
-
- 5 Resp.
- 1229 Exibições
-
Últ. msg por ManUtd
-
- 1 Resp.
- 326 Exibições
-
Últ. msg por VALDECIRTOZZI
-
- 2 Resp.
- 286 Exibições
-
Últ. msg por Cardoso1979