Concursos Públicos ⇒ MEDIANA Tópico resolvido

[rodrigoallvez]

IDIB/2024 - Dado um triangulo ABC, considere a mediana AM com M em BC tal que AB = 5, BC = 6, AC = 4. Determine a medida de AM.

Resposta

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√17

[παθμ]

rodrigoallvez,

Screenshot 2024-01-30 145152.png (113.36 KiB) Exibido 265 vezes

Lei dos cossenos no triângulo ABM: [tex3]25=x^2+9-6x \cos(\theta) \Longrightarrow 16=x^2-6x \cos(\theta).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]25=x^2+9-6x \cos(\theta) \Longrightarrow 16=x^2-6x \cos(\theta).[/tex3]

Lei dos cossenos no triângulo ACM: [tex3]16 = x^2+9-6x \cos (180 \degree - \theta) \Longrightarrow 7=x^2+6x \cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]16 = x^2+9-6x \cos (180 \degree - \theta) \Longrightarrow 7=x^2+6x \cos(\theta)[/tex3]

(onde foi usado o fato de que [tex3]\cos(180 \degree - \theta)=-\cos(\theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(180 \degree - \theta)=-\cos(\theta)[/tex3]

).

Somando as duas equações: [tex3]23=2x^2 \Longrightarrow \boxed{x=\sqrt{\frac{23}{2}}}[/tex3]

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[tex3]23=2x^2 \Longrightarrow \boxed{x=\sqrt{\frac{23}{2}}}[/tex3]

Gabarito errado.

[petras]

rodrigoallvez,

Por geometria: Fórmula da mediana em função dos lados

[tex3]M = \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}=\frac{\sqrt{2(4^2+5^2)-6^2}}{2}=\boxed{\frac{\sqrt{46}}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}=\frac{\sqrt{2(4^2+5^2)-6^2}}{2}=\boxed{\frac{\sqrt{46}}{2}}[/tex3]