Cap. 9 - Circunferencia II ⇒ Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:09 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
9 - Na figura ABCD é um quadrado . Calcular x

Resposta

---

B) 30^o (Resposta errada do livro: D) 36^o)

[petras]

[tex3]\mathsf{
tg(45- \frac{x}{2}) = \frac{R}{\ell - R} = \frac{1 - tg(\frac x2)}{1 + tg(\frac x2)}\\
tg(\frac{x}{2})=y\\
(1−y)(ℓ−R)=R(1+y)(1−y)(ℓ−R)=R(1+y)\\
ℓ(ℓ−R)=R(ℓ+2R)ℓ(ℓ−R)=R(ℓ+2R)\\
\ell(\ell - R) = R(\ell +2R)\\
ℓ^2−Rℓ=Rℓ+2R^2\\
ℓ^2−2Rℓ=2R^2\\
(ℓ−R)^2=3R^2\\
ℓ=R(1±\sqrt3)\\
ℓ=R(1+\sqrt3))\\
y=\frac{1}{2+\sqrt3}=2−\sqrt3\\
tg(x) = \frac{2y}{1-y^2} = \frac{4-2\sqrt3}{1-7+4\sqrt3}=\frac{2-\sqrt3}{2\sqrt3-3} = \frac{1}{\sqrt3}=
30^o
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
tg(45- \frac{x}{2}) = \frac{R}{\ell - R} = \frac{1 - tg(\frac x2)}{1 + tg(\frac x2)}\\
tg(\frac{x}{2})=y\\
(1−y)(ℓ−R)=R(1+y)(1−y)(ℓ−R)=R(1+y)\\
ℓ(ℓ−R)=R(ℓ+2R)ℓ(ℓ−R)=R(ℓ+2R)\\
\ell(\ell - R) = R(\ell +2R)\\
ℓ^2−Rℓ=Rℓ+2R^2\\
ℓ^2−2Rℓ=2R^2\\
(ℓ−R)^2=3R^2\\
ℓ=R(1±\sqrt3)\\
ℓ=R(1+\sqrt3))\\
y=\frac{1}{2+\sqrt3}=2−\sqrt3\\
tg(x) = \frac{2y}{1-y^2} = \frac{4-2\sqrt3}{1-7+4\sqrt3}=\frac{2-\sqrt3}{2\sqrt3-3} = \frac{1}{\sqrt3}=
30^o
}[/tex3]

(Solução:sousóeu - viewtopic.php?f=4&t=59608&p=157672&hili ... +x#p157672)

[petras]

Seja R = r
[tex3]\mathsf{
AS =a\\
AD = a+r\\
DT = r\\
AP = a\implies PH = 2r\\
B, O1, D\rightarrow colineares\\
\triangle O_1LO_2(notável-45^o)\therefore O_1O_2=2r\sqrt2\\
\triangle O_1DO_2(notável - 30^o)\\\therefore
Região~sombreada: x+45^o=30+ 45^o \implies \boxed{\color{red}x=30^o}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{
AS =a\\
AD = a+r\\
DT = r\\
AP = a\implies PH = 2r\\
B, O1, D\rightarrow colineares\\
\triangle O_1LO_2(notável-45^o)\therefore O_1O_2=2r\sqrt2\\
\triangle O_1DO_2(notável - 30^o)\\\therefore
Região~sombreada: x+45^o=30+ 45^o \implies \boxed{\color{red}x=30^o}
}[/tex3]

(Solução: encontrada por geobson)