Cap. 22 - Áreas de Regiones Circulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:26 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
26 - Calcular a área da região sombreada; se:
[tex3]\overset{\LARGE{\frown}}{AEB} =240º[/tex3] ; "E" é ponto de tangência e AB=2[tex3]\sqrt{3}[/tex3].

Resposta

---

B) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3](2[tex3]\pi [/tex3]-3[tex3]\sqrt{3}[/tex3])

[petras]

R = raio circunferência maior
O = centro da circunferência maior
[tex3]\mathsf{AC=BC^* \implies ∆ABC : isósceles.\\
\overset{\LARGE{\frown}}{ AEB} =240^o, então ∠ACB=120^o\\
∠BAC=∠ABC=30^o⟹\\
ACˆ=BCˆ=60^o∠\\
\angle BAC=∠ABC=30^o⟹\\
\overset{\LARGE{\frown}}{ AC} =\overset{\LARGE{\frown}}{ BC} =60^o \\
Lei~dos ~Senos: \frac{AB}{\sen(120^{\circ})}=2R\\
\frac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=2R\\
\boxed{R=2}\\

\overset{\LARGE{\frown}}{AC}=60^o \therefore ΔOAC(equilátero): OA=AC=OC=R=2\\
S_{sombreada}=2\cdot(S_{setor \ AOC}-S_{∆OAC})\\
S_{sombreada}=2\cdot\left(\frac{\frac{\pi}{3}\cdot 2^2}{2}-\frac{2^2\cdot\sqrt3}{4}\right)\\
S_{sombreada}=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt3\\
\boxed{S_{sombreada}=\frac23\cdot\left(2\pi-3\sqrt3\right)}

}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{AC=BC^* \implies ∆ABC : isósceles.\\
\overset{\LARGE{\frown}}{ AEB} =240^o, então ∠ACB=120^o\\
∠BAC=∠ABC=30^o⟹\\
ACˆ=BCˆ=60^o∠\\
\angle BAC=∠ABC=30^o⟹\\
\overset{\LARGE{\frown}}{ AC} =\overset{\LARGE{\frown}}{ BC} =60^o \\
Lei~dos ~Senos: \frac{AB}{\sen(120^{\circ})}=2R\\
\frac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=2R\\
\boxed{R=2}\\

\overset{\LARGE{\frown}}{AC}=60^o \therefore ΔOAC(equilátero): OA=AC=OC=R=2\\
S_{sombreada}=2\cdot(S_{setor \ AOC}-S_{∆OAC})\\
S_{sombreada}=2\cdot\left(\frac{\frac{\pi}{3}\cdot 2^2}{2}-\frac{2^2\cdot\sqrt3}{4}\right)\\
S_{sombreada}=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt3\\
\boxed{S_{sombreada}=\frac23\cdot\left(2\pi-3\sqrt3\right)}

}[/tex3]

(Solução: Bai123 - viewtopic.php?f=4&t=89424&p=247207&hili ... ia#p247207)

* Teorema Estrela da Morte