Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[leomaxwell]

Mostre que todas as raízes reais do polinômio [tex3]p(x)=x^5-10x+35[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=x^5-10x+35[/tex3]

são negativas.

Não possuo Gabarito

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[Andre13000]

Vamos testar, inicialmente, valores para p(x).

[tex3]p(0)=35\\
p(1)=26\\
p(2)=47[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(0)=35\\
p(1)=26\\
p(2)=47[/tex3]

Veja que não há raízes para x>2, pois o termo quíntico já dominou o linear.

O que resta analisar é o intervalo entre 0<x<2

Veja que [tex3]P(x)\leq 35-10x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x)\leq 35-10x[/tex3]

Mas veja, essa última expressão é sempre positiva para [tex3]0\leq x\leq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0\leq x\leq 2[/tex3]

Aí você adiciona o termo [tex3]x^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^5[/tex3]

, que é positivo, e a expressão fica mais positiva ainda. A conclusão é que não existem raízes positivas, o que implica que o resto das raízes deve ser negativa.