Ensino Médio ⇒ Equação polinomial Tópico resolvido

[Hanon]

Resolver a equação: [tex3]8x^{3}-6x+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8x^{3}-6x+1=0[/tex3]

[undefinied3]

Repare que o artifício que mostrei no outro tópico é justamente para cair nessa equação. Aqui basta [tex3]x=cos(y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=cos(y)[/tex3]

.

[Babi123]

Usando a substituição indicada pelo undefinied3:
[tex3]8x^{3}-6x+1=0\\
8\cos^3(y)-6\cos(y)+1=0\\
4\cos^3(y)-3\cos(y)+\frac{1}{2}=0\\
\cos(3y)=-\frac{1}{2}\\
\cos(3y)=\cos\(\frac{2\pi}{3}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8x^{3}-6x+1=0\\
8\cos^3(y)-6\cos(y)+1=0\\
4\cos^3(y)-3\cos(y)+\frac{1}{2}=0\\
\cos(3y)=-\frac{1}{2}\\
\cos(3y)=\cos\(\frac{2\pi}{3}\)[/tex3]

Mas [tex3]\cos(a)=\cos(b)\implies a=b+2k\pi, \ ou \ \ a=-b+2k\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(a)=\cos(b)\implies a=b+2k\pi, \ ou \ \ a=-b+2k\pi[/tex3]

. Então:
1º caso:
[tex3]3y=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \implies y=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3y=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \implies y=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

Para [tex3]k=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=0[/tex3]

:
[tex3]\boxed{y=\frac{2\pi}{9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{y=\frac{2\pi}{9}}[/tex3]

Para [tex3]k=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=1[/tex3]

:
[tex3]\boxed{y=\frac{8\pi}{9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{y=\frac{8\pi}{9}}[/tex3]

Para [tex3]k=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=2[/tex3]

:
[tex3]\boxed{y=\frac{14\pi}{9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{y=\frac{14\pi}{9}}[/tex3]

Voltando na substituição, fica:
[tex3]S=\{\cos\(\frac{2\pi}{9}\), \cos\(\frac{8\pi}{9}\),\cos\(\frac{14\pi}{9}\)\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{\cos\(\frac{2\pi}{9}\), \cos\(\frac{8\pi}{9}\),\cos\(\frac{14\pi}{9}\)\}[/tex3]

Seria isso?