O polinomio p(x)=x³+ax²+bx+c,com a,b,c reais, admite as raizes 1 e i. Então a-b+c é?
Gab:-3
Ensino Médio ⇒ Polinomio
-
rodrigoas2
- Mensagens: 6
- Registrado em: 13 Fev 2024, 00:15
- Última visita: 13-04-24
Mar 2024
06
10:30
Polinomio
Editado pela última vez por rodrigoas2 em 06 Mar 2024, 12:15, em um total de 4 vezes.
Razão: quero excluir a mensagem
Razão: quero excluir a mensagem
-
GiovanaMSP
- Mensagens: 58
- Registrado em: 28 Jul 2018, 17:21
- Última visita: 27-05-24
- Agradeceu: 9 vezes
- Agradeceram: 33 vezes
Mar 2024
25
22:48
Re: Polinomio
Pelo Teorema das Raízes Complexas Conjugadas, se i é raiz de P(x), logo, -i, que é conjugado de i, também é raiz de P(x).
Pela forma fatorada de um polinômio de grau 3: [tex3]P(x)=\beta(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex3] , sendo [tex3]\beta[/tex3] o coeficiente do termo de maior grau de P(x). Como [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3] , logo, [tex3]\beta=1[/tex3] .
Sendo [tex3](-i,i,1)[/tex3] raízes de P(x), tem-se: [tex3]P(x)=(x-1)(x-i)(x+i)=x^3-x^2+x-1[/tex3] .
Comparando termo a termo [tex3]P(x)=x^3-x^2+x-1[/tex3] com [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3] , encontra-se [tex3](a,b,c)=(-1,1,-1)[/tex3] .
Assim: [tex3]a-b+c=-1-1-1\ \therefore\ \boxed{a-b+c=-3}[/tex3] .
Pela forma fatorada de um polinômio de grau 3: [tex3]P(x)=\beta(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex3] , sendo [tex3]\beta[/tex3] o coeficiente do termo de maior grau de P(x). Como [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3] , logo, [tex3]\beta=1[/tex3] .
Sendo [tex3](-i,i,1)[/tex3] raízes de P(x), tem-se: [tex3]P(x)=(x-1)(x-i)(x+i)=x^3-x^2+x-1[/tex3] .
Comparando termo a termo [tex3]P(x)=x^3-x^2+x-1[/tex3] com [tex3]P(x)=x³+ax²+bx+c[/tex3] , encontra-se [tex3](a,b,c)=(-1,1,-1)[/tex3] .
Assim: [tex3]a-b+c=-1-1-1\ \therefore\ \boxed{a-b+c=-3}[/tex3] .
Editado pela última vez por GiovanaMSP em 25 Mar 2024, 22:58, em um total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
